Bonsoir,

Ce n'est pas de la trigo, c'est de l'analyse.
Q1 est pourtant simple, "Démontrer que (E) n'admet aucune solution..." la compréhension me parait à la portée de la Terminale.
Mon conseil :  démontre-le séparément pour les intervalles ]- ; 0[ et ]1 ; +[
Et pour l'intervalle ]- ; 0[, tu peux traiter séparément les cas ]- ; -1[ et [-1 ; 0[
Pour t'aider je te joins un tracé graphique.

Bonjour merci de votre réponse. Pour démontrer il faut dériver cos(x) ou il faut juste démontrer à partir du graphique ?

Personne ne parle de dérivation, au moins pas pour Q1.
Connais-tu un encadrement de cos(x) ? Si oui, que peux-tu en déduire ?

La fonction cosinus est bornée entre -1 et 1

Très bien. Qu'en déduis-tu pour les intervalles ]- ; -1[ et ]1 ; +[ ?

Ah donc on cherche l'ensemble de définition d'abord ? I = [-1;1] à cause de la fonction cos

J'avais mal compris la question, je pensais que dire qu'il n'y avait aucune solution sur c'était x ]-;0[U]1;+[. Alors que ce sont les images

Houlala... x et cos(x) sont définis sur tout , donc l'esnsemble de définition est .

Ne perds pas de vue le problème, on cherche les solutions de cos(x) = x.

Puisque cos(x) est borné entre -1 et 1, pour x < -1 et pour x > 1, il ne peut pas y avoir de solution.
Est-ce que ça c'est clair pour toi ?

Non pas vraiment...

Réfléchis...
Puisque cos(x) est 1, il ne peut pas être égal à x quand x est > 1
Même genre de raisonnement du côté de -1.
C'est plus clair comme ça ?

Ah ok, si on prend x=2, comme cos(x) oscille entre -1 et 1 c'est impossible qu'il y ait une intersection et donc solution ?

J'ai mis dans un tableau, les variations de f(x) = x et cos(x).

On remarque que de sur [-1;0] f(x) est croissante en allant de -1 à 0 et que cos(x) aussi en passant de 0.54 (environ) à 1 (son maximum) donc après sur [0;1], f(x) est croissante en passant de 0 à 1 et cos(x) est décroissante en passant de 1 à 0.54.
On peut donc dire qu'il y aura forcément un point d'intersection sur l"intervalle [0;1], car les fonctions f(x) et cos(x) sont strictement continues sur .

Est-ce juste ou il faut avoir une autre méthode ?

Voilà, c'est ça
Pareil pour x - -2
Donc ça règle la question pour les intervalles ]- ; -1[ et ]1 ; +[
Pour être complet, il reste à traiter l'intervalle [-1 ; 0[.
Sur cet intervalle, que remarques-tu en t'aidant du dessin ?

Commence par terminer Q1 en répondant à mon message de 23h51.

Ensuite :

Oui je l'ai déjà vu mais m'en rappelle plus...

J'ai dit qu'il existait un réel tel que 01 sur les x et que cos(1)f()1 car la fonction cosinus est strictement continue sur R et donc sur [-1;1].

Réel alpha appartenant à [0;1]

Désolé mais ça ne me fait pas rire. L'exercice, moi je sais le faire, et ça ne m'apporte rien. Je le fais avec toi pour essayer de t'aider, mais tu ne lis pas mes posts, ou à moitié.
Fais déjà ce que je t'ai dit de faire, ensuite revois ton cours sur le TVI, et on en reparlera plus tard. C'est terminé pour ce soir.

SUR [-1;0], les fonctions x et cos(x) sont toutes deux strictement continues donc, il ne pourront pas se croiser.

Bonjour, alors j'ai fait :

Pour la question 1 : On remarque que sur la calculatrice, leurs courbes ne se croisent pas. D'une part quand x0, cos(x)0 (x = -0.2, cos(-0.2) = 0.98). De plus sur [0;1], quand x0, cos(x)1 et à x=1 ; cos(1) = 0.54 (arrondi à 10^(-2)). Donc il existe une seule solution pour l'équation (E) : cos(x) = x sur [0;1] et zéro sur [-1;0].

Q2)
a) La fonction dérivée de f(x) = cos(x) - x est f'(x) = -sin(x)-1.
La fonction -sin(x) est la fonction sin(x) opposé donc tout est renversée (sur la courbe).
De plus quand, x=0  f'(0) = -sin(0)-1 = -1 & f'(1) = -sin(1) - 1 = -1,84.
On remarque sur la fonction f'(x) est négative sur [0;1] donc les variations de f(x), sont telles que f(x) est strictement décroissante sur [0;1].
f(0) = 1 & f(1) = -0.46.

b) Il existe un réel qui est solution de (E), d'après le TVI et le tableau de variations de f. Etant donnée que la fonction passe de f(0) = 1 à f(1) = -0.46, la fonction f(x) passe forcément entre 0.54 et 1 (où se trouve la solution).
D'une part la fonction f(x) est strictement décroissante et continue sur R et donc sur [0;1]. Donc x associe chaque réel à une UNIQUE image pour chaque x différent.

Soit : 01  <==> f(0)f()f(1).
<==> 1f()-0.46.

Si quelqu'un pourrait vérifier mes résultats merci !

Tu as a peu près compris l'idée mais c'est très mal rédigé.
Voici le schéma d'une rédaction correcte :

D'après Q1, s'il y a des solutions, elles sont nécessairement dans  I = [0 ; 1]
On remarque que I = [0 ; 1] [0 ; /2]
f(0) = 1 est > 0
f(1) = cos(1)-1 est < 0      (on le montre avec la remarque sur I)
f'(x) = -sin(x)-1 est < 0 sur I (on le montre avec la remarque sur I)
Donc f est monotone strictement décroissante sur I
Le TVI s'applique et l'équation f(x) = 0 a une solution unique sur ]0 ; 1[

A part refaire la rédaction, est-ce juste dans l'ensemble ? Me reste la question c à faire.

Pour la question 2c), il faut écrire en Python et non pas un programme calculatrice, le problème c'est que j'ai dû faire 3 fois Python donc je ne m'en rappelle pas.

Sur le dessin on voit que cos(x) > 0 et que x < 0, après je ne sais pas,  à part que par croissance comparée cos(x) grandit moins vite que x

[-1;0[ inclus dans ]-/2;0[ c'est le quart du cercle situé au SUD EST ? Alors que [-1;0] c'est tout à gauche du cercle

]-/2 ; 0[ c'est effectivement le quart en bas à droite, ou sud-est sit tu veux.
Et on a -/2 < -1 < 0 donc [-1 ; 0[ est bien inclus dans ]-/2 ; 0[
Poour t'en persuader, tu peux tracer une droite graduée et reporter -/2 -1,57, -1 et 0

J'ai fait la question c et avec le programme de dichotomie avec la vidéo d'Yvan Monka, j'ai pu l'avoir sur la calculatrice, et je trouve comme résultat : a = 0,738 et b = 0,739 où
ab où f() = 0 et f(x) = cos(x)-x. De plus l'équation (E) : cos(x) = x a pour solution.
Par contre je l'ai fait sur TI83 mais en python je ne sais pas.

????

Bonjour, je viens de consulter votre site seulement ce matin et je n'avais pas vu le message, je crois qu'on ne peut pas supprimé des messages sur le forum.
J'ai changé donc et comme programme python j'ai :

Def ResoudreEquationFonctionDecroissanteDichotomie
         debut = a
         fin = b
         #calcul de la longueur de [a,b]
         ecart = b-a
         while ecart>e :
                       #calcul du milieu
                       x = (début+fin)/2
                       y = cos(x)-x
                       if y < k
                            #la solution est supérieure à y
                             fin = y
                       else :
                             #la solution est inférieure à y
                             debut = y
                       ecart = fin - debut
           return a,b

Oui je le sais vous me l'aviez déjà dit c'est pour cela que j'ai mis les points d'interrogations, je ne pense pas être irrespectueux envers des gens qui m'aident gratuitement, au contraire. Merci pour votre aide et votre bienveillance pour m'avoir aidé dans cet exercice !

Ton programme n'est pas bon :

Si je définis le k juste avant le programme marchera ? Si après "fin = b" je mets
"precision = k" ça marche ?

Non ce n'est pas k mais "e". Dans le programme sur le site que vous m'avez donné c'est marqué k mais c'est e parce que si l'image de la fonction est plus petite ou plus grande que la précision alors il faut soit décaler la borne restante de la fonction vers la gauche ou droite. Donc k ne sert à rien ici, si j'ai bien compris mais c'est "e" qu'il faut que je mette ?

Non l'inverse, je remplace "e" par "k" ?

Dans l'exercice du lien , on veut résoudre f(x) = k. Toi tu veux résoudre f(x) = 0. Donc replace k =par 0 et ça ira mieux. D'autre part, dans ton cas, a = 0 et b = 1. Finalement ça donne quelque chose comme ça, en appelant e la précision acceptable :

debut = 0
fin = 1
#calcul de la longueur de [a,b]
ecart = fin-debut
while ecart>e :
         #calcul du milieu
          x = (debut+fin)/2
          y = cos(x)-x
                       if y < 0:
                            #la solution est inférieure à x
                             fin = x
                       else :
                             #la solution est supérieure à x
                             debut = x
                       ecart = fin - debut

D'accord merci ! Donc on a : a = 0 ; b = 1 et k = 10^(-3) de par l'exercice.
Merci pour votre aide l'exercice est fini !!