Salut

Une correction est efficace si et seulement si tu as essayé de faire
l'exo

Charly

Je veux une correction ds le but justemen de pouvoir reussir tt seul
les exercices qui me seront demandé
je manke de methode c tt mé merci kan mm

Essaie de le faire et ensuite compare tes résultats à ce qui suit.

f(x) = (x²+x+1)/(2x+1)

1)
Df : R /{-1/2}   (car x = -1/2 annule le dénominateur de f(x) et il
est interdit de diviser par 0)
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2)
lim(x->-oo) f(x) = -oo
lim(x->+oo) f(x) = +oo
lim(x-> -(1/2)-) f(x) = -oo   (limite à gauche)
lim(x-> -(1/2)+) f(x) = +oo   (limite à droite)
La droite d'équation x = -1/2 est asymptote verticale à la courbe
représentant f(x).
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3)
f '(x) = ((2x+1)(2x+1)-2(x²+x+1))/(2x+1)²
f '(x) = (4x²+4x+ 1 -2x²-2x -2)/(2x+1)²
f '(x) = (2x²+2x -1)/(2x+1)²

f '(x) = 0 pourx = [-1 +/- V(3)]/2

f '(x) > 0 pour x compris dans ]-oo ; (-1 - V(3))/2[ -> f(x) est
croissante.
f '(x) = 0 pour x = (-1 - V(3))/2
f '(x) < 0 pour x compris dans ](-1 - V(3))/2 ; -1/2[ -> f(x)
est décroissante.
f '(x) n'existe pas pour x = -1/2
f '(x) < 0 pour x compris dans ]-1/2 ; (-1 + V(3))/2[ -> f(x)
est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = (-1 + V(3))/2
f '(x) > 0 pour x compris dans ](-1 + V(3))/2 ; oo[ -> f(x) est
croissante.

Il y a un maximum de f(x) pour x =  (-1 - V(3))/2.
Il y a un minimum de f(x) pour x =  (-1 + V(3))/2.
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4)
f(x) = (x²+x+1)/(2x+1)
on peut mettre f(x) sous la forme ax + b + (c/(2x+1))
Essaie de la faire, on trouve:

f(x) = (1/2)x + (1/4) + [(3/4)/(2x+1)]
Comme lim(x-> +/- oo) [(3/4)/(2x+1)] = 0, on a:
La droite d'équation y = (1/2)x + (1/4) est asymptote oblique à
la courbe représentant f(x) aussi bien du coté des x négatifs que
du coté des x positifs.

On a trouvé la seconde asymptote dans le point 2 de l'exercice.
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5)
Résoudre le système:
x = -1/2
y = (1/2)x + (1/4)

Les coordonnées du point d'intersection des 2 asymptotes sont (-1/2
; 0)
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f(-1/2 + x) = ((-1/2 + x)²+(-1/2 + x)+1)/(2.(-1/2 + x)+1)
f(-1/2 - x) = ((-1/2 - x)²+(-1/2 - x)+1)/(2.(-1/2 - x)+1)

Il te reste à développer et à montrer que :

[f(-1/2 + x) + f(-1/2 + x)]/2 = 0
Et cela signifiera que le point  (-1/2 ; 0) est centre de symetrie de
la courbe représentant f(x).
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Sauf distraction.

f(x) = (x²+x+1) / (2x-1)

La fonction est définie 2x - 1
0
2x 1
x 1/2
Df est définie sur / {1/2}

Les limites à étudier seront donc :
+, -, 1/2(-), 1/2(+)

# limite en + :
Pour calculer la limite en +, étant donné que nous sommes
en face d'une fonction rationnelle, il faut prendre les termes
de plus haut degré : ici, (x²) / (2x) --> x/2
lim         (x/2) = +
x->+

# limite en - :
Meme principe que pour la précédente, sauf que la fraction avec le -
va devenir négative.
lim          (x/2) = -
x->-

# limite en 1/2(-) :
Il faut différencier 1/2(-) et 1/2(+) car c'est une valeur interdite.
Il suffit de remplacer les x par 1/2(-) dans ton équation de fonction.
lim            f(x) = -
x->1/2(-)

# limite en 1/2(+) :
Meme principe que pour la précédente, sauf que cette fois le dénominateur
va tendre vers quelquechose de positif.
lim             f(x) = +
x->1/2(+)

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Variations de f :
Pour les variations de f, il faut déterminer l'équation de la dérivée
de f, puis étudier le signe de cette dérivée, pour pouvoir conclure
sur les variations et ainsi faire un tableau.

f est dérivable sur son ensemble de définition.
Pour tout x de l'ensemble de définition, on a :
f'(x) = [(2x+1)(2x-1)-(x²+x+1)(2)] / (2x-1)²
f'(x) = (4x²-1-2x²-2x-2) / (2x-1)²
f'(x) = (2x²-2x-3) / (2x-1)²

On sait que le dénominateur est toujours positif sur .
Signe de 2x²-2x-3 :
= 4 - 4(-6)
= 28
Les deux racines de l'expression sont :
x1 = (2+27) / 4 = (1+7) / 2
x2 = (2-27) / 4 = (1-7) / 2
Le signe de l'expression est du signe de "a" à l'extérieur
des racines et du signe contraire entre.

f'(x) > 0 x ]-;(1-7)
/ 2[ ](1+7) / 2;+[
f'(x) < 0 x ](1-7)
/ 2;1/2[ ]1/2;(1+7) / 2[

Et apres tu as tes variations de ta fonction f et tu fais ton tableau.

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Pour trouver les asymptotes, il faut étudier les limites de la fonction
f.

lim            f(x) = -
x->1/2(-)
lim             f(x) = +
x->1/2(+)
--> f a une asymptote au point d'abscisse 1/2

Graphiquement, il me semble que la courbe a une asymptote oblique d'équation
y = (1/2)x + 1
c.q.f.d

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Ta derniere question n'est pas tres claire, mais je pense qu'il
faut trouver les coordonnées du point d'intersection des deux
asymptotes que l'on nommera I, puis il faut démontrer que ce
point est le centre de symétrie de la courbe.

Donc pour l'intersection, il faut faire un systeme, et résoudre l'équation
(y-1) / 2 = 1/2

Ensuite pour le centre de symétrie, il faut démontrer la relation :
(f(a+h) + f(a-h)) / 2 = b
avec a et b les coordonnées de ton point I

sauf erreurs de calcul...
a+