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Niveau seconde
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Exercice vecteurs

Posté par
Lgoure03
03-01-18 à 22:57

Bonjour, je n'arrive pas cette exercice et cette questions, merci beaucoup

Tracer un triangle équilatéral ABC de
côté 4cm. Construire le point D:
\vec{AD}=\frac{1}{2} \vec{AC}+\frac{3}{2} \vec{AB}

Soit I le milieu de [AB], J le milieu de [AC] et k milieu [BC].
DEMONTRER que les points J,K,D sont alignés

Posté par
ilyass59
re : Exercice vecteurs 03-01-18 à 23:09

tout d'abord on va décortiquer le résultat :

question cours : on dit que 3 points J,K et D sont alignés si et seulement si il existe un réel a , tel que ..................... je te laisse compléter !

c'est à partir de  là que notre démonstration peut commencer !

Posté par
Lgoure03
re : Exercice vecteurs 03-01-18 à 23:56

Bonsoir,
MA professeur de mathématique ma donner que des leçons sur les bases des vecteurs et non sur cette exercice (qui est un DM) pour aborder les nouvelles leçons, j'ai justement pas ses notions et je ne comprends pas du tout comment résoudre la questions

Posté par
nyto
re : Exercice vecteurs 04-01-18 à 02:03

Lgoure03 bonjour . Bon de manière simple pour demontrer à laide des vecteurs que que 3 points sont alignés il suffit de montrer que que les vecteursJK  et kD sont colinéaires et ont un point commun à savoir le K pour notre cas

Posté par
ilyass59
re : Exercice vecteurs 04-01-18 à 19:07

on dit que 3 points J,K et D sont alignés si et seulement si il existe un réel "a" , tel que:

\vec{JD} = a \vec{JK}  

on sait que J est le milieu de [AC]  donc :  \vec{AJ} = \frac{1}{2} \vec{AC}

on sait également que I est le milieu de [AB] donc : \vec{AI} =  \frac{1}{2} \vec{AB} donc:

\vec{AB} =  2 \vec{AI}

on a : \vec{AD}=\frac{1}{2} \vec{AC}+\frac{3}{2} \vec{AB}

donc :  \vec{AD}=\vec{AJ} +( (3/2)*2) \vec{AI}

donc :  \vec{AD}=\vec{AJ} +3 \vec{AI}

on applique la relation de Chasles : \vec{AJ} = \vec{AD} + \vec{DJ}

donc :  \vec{AD}= \vec{AD} + \vec{DJ} +3 \vec{AI}

donc :  \vec{AD} - \vec{AD} = \vec{DJ} +3 \vec{AI}

donc : \vec{0} = \vec{DJ} +3 \vec{AI}

or  \vec{AI} = \vec{JK} ( c'est à démontrer! je te laisse faire)

donc : \vec{DJ} +3 \vec{JK} =  \vec{0}

donc :   -  \vec{DJ} = 3 \vec{JK}  d'où :  \vec{JD} = 3 \vec{JK}

donc on vient de démontrer qu'il existe un réel ( 3 en l'occurrence)  tel que :

  \vec{JD} = 3 \vec{JK}

par conséquent les points J, K et D sont alignés.

Posté par
ilyass59
re : Exercice vecteurs 04-01-18 à 19:15

on dit que 3 points J,K et D sont alignés si et seulement si il existe un réel "a" , tel que:

\vec{JD} = a \vec{JK}  

on sait que J est le milieu de [AC]  donc :  \vec{AJ} = \frac{1}{2} \vec{AC}

on sait également que I est le milieu de [AB] donc : \vec{AI} =  \frac{1}{2} \vec{AB} donc:

\vec{AB} =  2 \vec{AI}

on a : \vec{AD}=\frac{1}{2} \vec{AC}+\frac{3}{2} \vec{AB}

donc :  \vec{AD}=\vec{AJ} +( (3/2)*2) \vec{AI}

donc :  \vec{AD}=\vec{AJ} +3 \vec{AI}

on applique la relation de Chasles :  \vec{AJ} = \vec{AD} + \vec{DJ}

donc :  \vec{AD}= \vec{AD} + \vec{DJ} +3 \vec{AI}

donc :  \vec{AD} - \vec{AD} = \vec{DJ} +3 \vec{AI}

donc : \vec{0} = \vec{DJ} +3 \vec{AI}

or  \vec{AI} = \vec{JK} ( c'est à démontrer! je te laisse faire)

donc : \vec{DJ} +3 \vec{JK} =  \vec{0}

donc :   -  \vec{DJ} = 3 \vec{JK} d'où :  \vec{JD} = 3 \vec{JK}

donc on vient de démontrer qu'il existe un réel ( 3 en l'occurrence)  tel que :

  \vec{JD} = 3 \vec{JK}

par conséquent les points J, K et D sont alignés

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