Le sujet est :

Soit (i ; j ; k) une base de l'espace

1. On donne les vecteurs e1 = i - 3j + 2k,  e2 = i + k   et   e3 = 2i - j +2k. Sont ils coplanaires ?

J'ai fait ça :

e1 (1 ; - 3 ; 2) e2 (1 ; 0 ; 1) e3 (2 ; -1 ; 2)

e3 = Alpha*e1 + Bêta*e2
<=> (2 ; -1 ; 2) = Alpha (1 ; -3 ; 2) + Bêta (1 ; 0 ; 1)
<=> 2 = Alpha + Bêta
-1 = -3 Alpha + 0
2 = 2 Alpha + Bêta

Blocage :

Je ne sais pas comment trouver alpha et beta

Bonsoir

je réécris les choses proprement

tu as donc le système d'équations :  

la deuxième ligne te donne une information sur la valeur de alpha. Après, vois si le système admet une solution ou pas

Pour trouver alpha je fais -1/-3  = 1/3 ?

Aussi je ne comprends pas comment on démontre que des vecteurs sont coplanaires... Il faut une certaine valeur pour que des vecteurs soient coplanaires ?

J'ai trouvé alpha et beta c'est bon

Alpha = 1/3  et  Beta = 4 / 3

Mais que veulent dire ces résultats ?

Si on arrive à trouver deux nombres réels    tels que    alors les 3 vecteurs sont coplanaires

Si tu veux, e1 et e2 sont forcément coplanaires (c'est toujours le cas pour deux vecteurs)
pour que e3 appartienne au plan décrit par e1 et e2 (s'ils en décrivent un, sinon les trois seront forcément coplanaires), il faut que e3 s'exprime comme une somme de e2 et de e1, d'où l'écriture  

est-ce que tu es sûr que tes  alpha et beta sont solutions du système entier ?