Merci d'avance de vos reponsse, bonne journée a tous ....

PS: je n'ai pas encore fait les barycentre

Soit ABC un triangle, H son orthocentre et C son cercle circonscrit. La droite (AH) coupe (BC) en A' et C en E, (BH) coupe (AC) en B' et (CH) coupe (AB) en C'.

                    ->  ->   -> ->
1)Demontrer que (AB, AE)=(CH,CA').

2) Prouver que les triangles CAE' et CHA4 sont isometriques.

3) Demontrer que les triangle, le symetrique de l'orthocentre par rapport à un des côtés du triangle est sur le cercle circonscrit.


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Soit O et A deux point distincts.

                                                                                    -> ->  
1)Tracer en rouge l'enssemble 1 des point M du plan tels que (OA,OM)=1/3
                                                                                 -> ->
2) Tracer en bleu l'enssemble 2 des point N du plan tels que (OA,ON)=(-2)/3

3) Soit E un point de 1 et F un point de 2. Demontrer que les points O,E et F sont alignés.



Merci d'avance de vos reponsse, je n'ai pas fait les barycentres :s

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Bonsoir
regarde les triangles AC'H et HAC'
ils sont tous deux rectangles et les angles en H sont égaux car opposés par le sommet.
les 3èmes angles de ces deux triangles sont donc également égaux
donc angle BAH= angle HCB.
On dit aussi que ces angles sont égaux comme angles à côtés perpendiculaires.
2) je suppose que l'on te demande de démontrer l'isométrie des triangles HCA' et et CA'E
ils sont tous deux rectangles en A'
H'C est commun
enfin l'angle A'CE= angle BAE puisqu'ils interceptent dans le cercle circonscrit le même arc BE.
et comme on a démontré que l'angle C'AE=angle HCA'
on a donc
angle HCA'= angle A'CE
les deux triangles HCA' et A'CE sont isométriqques
et en particulier on a HA'=A'E
E est donc symétrique de H par rapport à (BC)
ce que l'on a démontré pour H et E se démontre rigoureusement de la même manière pour B'H  et B'F si on appelle F l'intersection de (BH) avec le cercle C
En fait, à partir du moment où le triangle ABC est quelconque, une propriété que tu démontres pour (AH) et (C) est également valable pour (BH) et (C) et (CH) et (C).
C'est une propriété qui fait partie de la caractérisation du cercle des 9 points , appelé aussi cercle d'Euler.

le second éxo est  tout de même fort simple
I s'agit d'angles et le barycentre n'a donc rien à voir
Je suppose que angle (OA,OM)=pi/3
delta 1 et delta 2 sont des demi droites qui font entre elles un angle de pi (angle delta1;delta2)=-2pi/3-pi/3=-pi
les demi droites sont donc alignées et par conséquent toute famille de points E;O;F




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Merci bien

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