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Exercices de sommes

Posté par
Cleem17200 10-09-16 à 08:45

Bonjour,
Je dois calculer les sommes suivantes pour lundi :

A=somme pour k allant de 2 à n des (1/3)^n-k
B=somme pour k allant de 1 à n des k(k^2  +5) + (1/2)^(k-2)
C=somme pour k allant de 0 à n des k(2n  +1-3k)
D=somme pour k allant de 1 à n des ln((k+2)/k)
E=somme pour k allant de 0 à n des (1/(2^(3k+2))+((4^2k)/(3^(k-1))
F=somme pour k allant de 0 à n des (2k)^2  +(-1)^k*e^(-2k)
G=somme pour k allant de 0 à n des k parmi n de x^2k*(-1)^k
H=somme pour k allant de 0 à n des k+1 parmi n+1 de (1/2)^k


Ce que j'ai commencé :

Pour la A je suis directement bloqué a cause de la puissance n-k, est-ce avec la formule du binome?

Pour la B j'ai decomposé en 2 sommes : somme pour k allant de 1 a n de k(k^2   +5) + somme pour k allabt de 1 a n de (1/2)^(k-2)
Ensuite j'ai sorti le k pour la premiere somme :
K*somme pour k allant de 1 a n de k^2   +5 + somme pour k allant de 1 à n de(1/2)^(k-2)
J'ai encore descomposé les sommes :
K*somme pour k allant de 1 a n de k^2 + k*somme pour k allant de 1 a n des 5 + la somme pour k allant de 1 a n de (1/2)^(k-2)
Et me voila bloqué car je n'ai pas k=0 pour faire la formule des sommes des carrés, pour la constante ce n'est pas constante *nombre de termes?? Et pour le (1/2) somme des termes d'une suite geo??

Pour la C j'ai sorti le k, puis j'ai decomposé les sommes en gardant bien le k devant ce qui me fait :
K*somme pour k allant de0 a n de 2n +k*somme pour k allant de 0 a n de 1 -k*somme de 0 a n des 3k
Et la je suis bloquée

Pour la D je pense avoir reussi je trouve a la fin ln(n+1)+ln(n+2)+ln(2) j'ai fait par telescopage

Pour la F j'ai decomposé en 2 sommes puis je bloque..

Pour la G je pense que c'est la formule du binome mais je n'arrive pas a identifier le A et le B!...

Pour la H je ne sais pas qu'elle formule utiliser

Voila, merci pour votre aide

Posté par
Razesre : Exercices de sommes 10-09-16 à 10:03

A=\sum_{k=2}^{n}\left (\frac{1}{3}  \right )^{n-k }=\left (\frac{1}{3}  \right )^{n}\sum_{k=2}^{n}3^k

Posté par
Razesre : Exercices de sommes 10-09-16 à 10:07

B_k=k(k^2+5)+\left (\frac{1}{2}  \right )^{k-2} =k^3+5k+4\left (\frac{1}{2}  \right )^{k}

Posté par
mdr_nonre : Exercices de sommes 11-09-16 à 01:11

bonsoir : )


*** *** *** *** *** *** *** *** ***
Tu dois au préalable avoir en tête quelques résultats élémentaires tels que :

  - La formule du binôme de Newton, pour tous a, b \in \C et n \in N,

\boxed{(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^kb^{n-k}} (R1).


  - La somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, pour tous q \in \C et m, n \in N,

\boxed{\sum_{k=m}^{n} q^k = \left\{\begin{matrix}q^m\times\frac{1-q^{n-m+1}}{1-q} & \text{si } & q \neq 1 \\ n - m + 1 & \text{si } & q = 1\end{matrix}\right.} (R2).


  - Pour tout n \in \N,

\boxed{\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}} (R3), \boxed{\sum_{k=0}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}} (R4) et \boxed{\sum_{k=0}^{n} k^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}} (R5).


  - La simplification télescopique, pour tous entiers m et n avec m \leq n, et toute famille de nombres complexes (a_k)_{m \leq k \leq n+1}

\boxed{\sum_{k=m}^{n} a_{k+1} - a_k = a_{n+1} - a_m} (R6).


  - Les régles de calculs sur les exposants et les sommes.
*** *** *** *** *** *** *** *** ***


*** *** *** *** *** *** *** *** ***
Pour A = \sum_{k=2}^{n} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-k}, tu as à exploiter la somme de termes successifs d'une suite géométrique. Sers toi des régles de calculs sur les exposants pour te ramener à (R2).



Pour B = \sum_{k=1}^{n} k(k^2 + 5) + \left(\frac{1}{2}\right)^{k-2}, exploite (R2), (R3) et (R5). Souviens toi des opérations sur les sommes.



Pour C = \sum_{k=0}^{n} k(2n + 1 - 3k), exploite (R3) et (R4). Souviens toi des opérations sur les sommes.



Pour D = \sum_{k=1}^{n} \ln \frac{k + 2}{k}, souviens toi des propriétés de la fonction logarithme et exploite la simplification télescopique (R6), pour tout naturel non nul k, \ln(k + 2) - \ln(k + 1) + \ln(k + 1) - \ln k = \ln(k + 2) - \ln k.



Pour E = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^{3k+2}} + \frac{4^{2k}}{3^{k-1}}, sers toi des régles de calculs sur les exposants et les sommes pour ensuite exploiter la somme de termes successifs d'une suite géométrique (R2).



Pour F = \sum_{k=0}^{n} (2k)^2 + (-1)^ke^{-2k}, exploite (R2) et (R4).


Pour G = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{2k}(-1)^k, sers toi de la formule du binôme de Newton, utilise les règles de calculs sur les exposants pour te ramener à (R1).



Pour H = \sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k+1} \left(\frac{1}{2}\right)^k, tu as à te servir de la formule du binôme de Newton, un changement d'indice et quelques manipulations algébriques te permettent de te ramener à (R1).

Posté par
mdr_nonre : Exercices de sommes 11-09-16 à 02:10

Citation :
  - La somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, pour tous q \in \C et m, n \in \N avec \red m \leq n,

\boxed{\sum_{k=m}^{n} q^k = \left\{\begin{matrix}q^m\times\frac{1-q^{n-m+1}}{1-q} & \text{si } & q \neq 1 \\ n - m + 1 & \text{si } & q = 1\end{matrix}\right.} (R2).



Attention à la définition de n pour chacune de tes sommes et x pour G.



Tu trouveras donc les résultats suivant :

\boxed{A = \frac{3}{2}\left(1 - 3^{1-n}\right), n \in [\![ 2 , +\infty [\![\,}

\boxed{B = \frac{1}{4}(n^2 + n + 2)(n^2 + n + 8) - 2^{2-n}, n \in \N^*}

\boxed{C = 0, n \in \N^*}

\boxed{D = \ln\frac{(n + 2)!}{2n!} = \ln\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}, n \in \N^*}

\boxed{E = \frac{9}{13}\times\left(\frac{16}{3}\right)^{n+1} - \frac{2}{7}\times8^{-n-1} - \frac{37}{91}, n \in \N}

\boxed{F = \frac{2}{3}n(n + 1)(2n + 1) + \frac{e^2 + \left(-e^{-2}\right)^n}{e^2 + 1}, n \in \N}

\boxed{G = (1 - x^2)^n, x\in\C, n \in \N}

\boxed{H = 3\times\left(\frac{3}{2}\right)^n - 2, n \in \N}

Posté par
Cleem17200re : Exercices de sommes 11-09-16 à 12:21

Merci beaucoup!!!

Posté par
mdr_nonre : Exercices de sommes 11-09-16 à 19:11

Pour C, n \in \N.



Je t'en prie : ) Bonne continuation : )

Posté par
Cleem17200re : Exercices de sommes 11-09-16 à 19:33

Je suis bloquée à la E.. Je ne sais pas comment commencer

Posté par
mdr_nonre : Exercices de sommes 11-09-16 à 19:45

Tu as réussit comment la B ou la C alors ?


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