Niveau Prepa (autre)

exercices sur les sommes

Posté par
aya4545 25-09-22 à 18:53

bonjour
prière me donner un coup de pouce pour dépasser ce blocage
voici l énoncé de l exercice

pour tout n de N   $S_n=\sum _{(i;j)\in \N^2 / i+j=n  }ij$
a)montrer qu' il existe un polynôme P  vérifiant   $\forall n \in \N   \\ S_n =P(n)$
b)  pour tout n de N   $T_n=\sum _{(i;j)\in \N^2 / i+j\leq n  }ij$ montrer qu' il existe un polynôme  Q vérifiant   $\forall n \in \N   \\ T_n =Q(n)$

a) J ai trvaillé pour n pair

$S_{2n}=2(1.(2n-1) +2(2n-2)  +...+(n-1)(2n-(n-1)) +n² \\ =4n(1+2+3+...(n-1))-(1+2²+3²+.....+(n-1)² +n²=2n²(n-1)-\frac {n(n-1)(2n-1)}{3} +n²=\frac 53 n^3-\frac 13 n$
mais je trouve des contradictions avec des exemples particuliers et merci

Posté par re : exercices sur les sommes 25-09-22 à 18:58

salut

je ne comprends pas tes contradictions ...

$S_n = \sum_{(i, j) \in \N^2 \ i + j = n} ij = \sum_{i = 0}^n i(n - i)$

et il suffit de développer ...

la donnée de P(n) prouve donc son existence !!

même raisonnement pour T_n ...

Posté par re : exercices sur les sommes 25-09-22 à 23:35

bonsoir
merci carpediem mes conditions ce soir n étaient pas lamentables c est déjà fait

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