On considère deux suites de réels (Un) et (Vn) définie pour tout n appartenant a N* par :
Un = sin(1/n²) + sin(2/n²) + .... + sin(n/n²)
Vn = 1/n² + 2/n² + .... + n/n²
1/ Déterminer la limite de la suite Vn
2/Soit f, g et h les fonctions définies sur [0 ; +[ par :
f(x)= x-sinx
g(x)= -1+(x²/2)+cosx
h(x)= -x+(xcube/6)+sinx
a. Démontrer que chacune des fonctions ne prend que des valeurs positives ou nulles sur [0;+[
b. Justifier que :
pour tout n1, 1cube + 2cube + ....+ncuben puissance 4.
c. Démontrer que pour tout nde N* , Vn-(1/6)*1/n²UnVn.
En déduire que Un est convergente et donner sa limite.