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Exercies Suites montrer que pour tout n

Posté par
TheArcAngel
02-01-22 à 17:21

En 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy de Dôme. Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy de Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-Ferrand. Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l'altitude augmente.
Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa).
On rappelle que la pression atmosphérique vaut 1 013,25 hPa au niveau de la mer.
Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante: « la pression atmosphérique diminue de 0,11 hectopascal quand l'altitude augmente de 1 mètre ».
1. Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant cette règle :
Altitude (en mètre)             0        800 1 500 2 000
Pression atmosphérique (en hPa) 1 013,25
2. Pour tout entier naturel n, on note un la pression atmosphérique en hPa à l'altitude de n mètres calculée avec la règle simplifiée. Ainsi u0 = 1 013,25.
a. Calculer u1 et u2.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, un = u0- 0,11n.
c. Déterminer les variations de la suite (un ) ainsi définie.

J'ai déjà répondu aux questions 1,2a mais je ne sais pas comment répondre a la question 2b et 2c

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 17:36

Bonjour (cela se dit),

Montre ce que tu as trouvé aux questions 1 et 2a.

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 17:42

Bonjour, oui excusez moi j'avais oublier de le mettre avant le sujet
A la question 1 j'ai trouvé pour l'altitude 0 = 1013,25
800 m= 925,25 ; 1500m=848,25 et pour 2000m= 793,25

A la question 2a j'ai mis pour U1
Pour n=800 U1= 1013,25-0,11x800
U1= 1013,25-88
U1=925,25

Pour n=1500 U1= 1013,25-0,11x1500
U1= 1013,25-165
U1=848,25

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 17:43

TheArcAngel

Pour n=1500 c'est pour U2 c'est juste que je me suis trompé en le n'optant

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 18:13

Pour la question 1, c'est correct.

Par contre pour la question 2, il semble que tu n'as pas compris le texte.
On te dit : « on note un la pression atmosphérique en hPa à l'altitude de n mètres ». Donc u1 est la pression atmosphérique à l'altitude de 1 mètre et u2 est la pression atmosphérique à l'altitude de 2 mètres.

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 18:22

J'ai modifier , j'ai mis cela
Pour n=1 U1= 1013,25-0,11x1
U1= 1013,25-0,11
U1=1013,14

Pour n=2 U1= 1013,25-0,11x2
U2= 1013,25-0,22
U2=1013,03

Et du coup pour la question 2b , je pensais pour montrer cela prendre un ou 2 chiffres au hasard et calculer sinon je n'ai aucune idée pour répondre a cela. Pouvez-vous m'aidez

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 18:39

As-tu pensé au raisonnement par récurrence ?

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 19:00

Justement , bah j'ai penser a mettre cette formule sous forme de récurrence mais elle est déjà en récurrence vu qu'on a dans la formule U0 mais la formule n'a pas Un+1 donc je ne sais pas sauf si il faut mettre cette formule sous forme explicite qui donnerait : Un= 1013,25-0,11n. Justement je pense que je suis perdu. Sinon au pire on peut remplacer pour quand on est a U2 mettre comme formule U2= Un(donc la la valeur de U1) - 0,11

Apres je ne sais pas du tout

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 19:06

Je ne suis pas sûr que tu connaisses le raisonnement par récurrence en première.
Il suffit que tu dises :
u1 = u0 - 0,11
u2 = u1 - 0,11 = u0 - 0,11*2
u3 = u2 - 0,11 = u0 - 0,11*3
etc…
un = un-1  - 0,11 = u0 - 0,11*n
Ainsi tu as montré ce qu'on te demande.

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 19:12

La suite un ainsi définie est-elle géométrique ou arithmétique ? Quelle est sa raison ?
Tu pourras ainsi déterminer les variations de un

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 19:14

alma78 @ 02-01-2022 à 19:06

Je ne suis pas sûr que tu connaisses le raisonnement par récurrence en première.
Il suffit que tu dises :
u1 = u0 - 0,11
u2 = u1 - 0,11 = u0 - 0,11*2
u3 = u2 - 0,11 = u0 - 0,11*3
etc…
un = un-1  - 0,11 = u0 - 0,11*n
Ainsi tu as montré ce qu'on te demande.

* signifie « multiplié par »

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 19:26

Oui je ne connaissait pas le raisonnement par récurrence mais du coup pour prouver cela je doit développer sa avec les valeurs pour avoir les même valeurs et donc justifier  U2= U1-0,11=U0-0,11*2

U2=U1-0,11=U0-0,11*2
donc U2=1013,14-0,11=1013,25-0,22
U2=U2= 1013,03=1013,03
Donc Un=Un-1-0,11=U0-0,11*n

si je mets cela réponds a la question ou faut qu'il que je rajoute d'autre exemple avec U3 ?

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 19:36

J'ai vu dans le manuel que pour savoir si une suite est arithmétique il faut faire U1-U0=U2-U1

Ducoup j'ai fait cela
1013,14-1013,25=1013,03-1013,14
-0,11=-0,11
Puis on nous dit que si le résultats sont identiques , il faut montrer que pout tout entier naturel n , un+1-un est constant mais comment faire cela ?

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 19:41

Il faut que tu partes de l'énoncé qui dit : « la pression atmosphérique diminue de 0,11 hectopascal quand l'altitude augmente de 1 mètre ».

Il suffit que tu écrives :
u1 = u0 - 0,11
u2 = u1 - 0,11  et en remplaçant u1 par sa valeur ci-dessus, u2 = u0 - 0,11*2
u3 = u2 - 0,11 = u0 - 0,11*3
etc…
un = un-1 - 0,11 = u0 - 0,11*n
Ainsi tu as montré ce qu'on te demande.

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 19:47

Mais justement je doit aller jusqu'a combien de u  ? parce que je sais que pour chaque metre , la pression diminue de 0,11 mètres mais du coup jusqu'a quel u aller parce que on nous dit pour tout entier naturel

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 19:47

Tu viens de montrer que  quel que soit n, on a un = u0 - 0,11*n
Donc un+1 = u0 - 0,11*(n+1)
D'où un+1 - un = ???

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 19:59

Je crois que Un+1-Un= -0,11
Puisque que admettons que je prenne U2-U1 donc
1013,03-1013,14=-0,11

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 20:02

Non !
Utilise ce que tu as montré à la question 2b

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 20:04

Le résultat est bien -0,11 mais je n'aime pas ta justification :
Puisque que admettons que je prenne U2-U1 donc
1013,03-1013,14=-0,11

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 20:11

Si je dit que 0,11 est la différence de pression atmosphérique  entre chaque mètre.

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 20:17

Tu es en train de répéter l'énoncé qui dit : « la pression atmosphérique diminue de 0,11 hectopascal quand l'altitude augmente de 1 mètre ».
On te demande de faire un raisonnement un peu plus abouti.
C'est ce que je t'ai suggéré à 19h47

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 20:27

Bah enfaite je vous avoue que la je suis un peu perdue avec les questions , et avec sa. Le raisonnement par récurrence que vous m'avez expliqué j'ai compris a part jusqu'a ou il fallait s'arrêter et ce que j'avais vu dans le manuel pour savoir l'arithmétique j'ai aussi compris sauf ce que j'avais dit a 19h36. Pouvez vous me reexpliquer ce que je n'ai pas compris  s'il vous plait , si cela ne vous derange pas

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 20:30

Tu as compris les questions 1 et 2a ?

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 20:33

Oui cela j'ai compris

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 20:39

En question 2 il est écrit  : «  Pour tout entier naturel n, on note un la pression atmosphérique en hPa à l'altitude de n mètres calculée avec la règle simplifiée. Ainsi u0 = 1 013,25. »
Est ce que tu comprends ce que ça veut dire ?
Rappelle moi la règle simplifiée stp

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 20:47

Ce que je comprends de la question c'est que pour n'importe quel nombre compris entre 0 et plus l'infinit , la valeur de un est la pression atmosphérique à l'altitude avec n mètres et apres U0 est la valeur initial pour 0 mètres.

La regle simplifiée est: Un= Un-1-0,11=u0-0,11*n

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 21:02

TheArcAngel @ 02-01-2022 à 20:47

Ce que je comprends de la question c'est que pour n'importe quel nombre compris entre 0 et plus l'infinit , la valeur de un est la pression atmosphérique à l'altitude avec n mètres et apres U0 est la valeur initial pour 0 mètres.
—> oui
La regle simplifiée est: Un= Un-1-0,11 —> oui
=u0-0,11*n —> non  c'est ce qu'on te demande de montrer à la question 2b

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 21:05

La règle simplifiée est définie dans l'énoncé par : « Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante: « la pression atmosphérique diminue de 0,11 hectopascal quand l'altitude augmente de 1 mètre ». »
Es-tu d'accord ?

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 21:10

Oui

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 21:16

Donc pour montrer que un = u0 - 0,11*n on va utiliser :

alma78 @ 02-01-2022 à 19:41

Il faut que tu partes de l'énoncé qui dit : « la pression atmosphérique diminue de 0,11 hectopascal quand l'altitude augmente de 1 mètre ».

Il suffit que tu écrives :
u1 = u0 - 0,11
u2 = u1 - 0,11  et en remplaçant u1 par sa valeur ci-dessus, u2 = u0 - 0,11*2
u3 = u2 - 0,11 = u0 - 0,11*3
etc…
un = un-1 - 0,11 = u0 - 0,11*n
Ainsi tu as montré ce qu'on te demande.

Es-tu d'accord ?

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 21:21

Oui

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 21:25

Maintenant pour la question 2c on te demande : « Déterminer les variations de la suite (un ) ainsi définie. »
Sachant que un = u0 - 0,11*n que peux-tu dire sur la variation de un en fonction de n ?

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 21:31

Juste avant qu'on passe a la question 2c pour la question 2b c'etait justement ce que je voulais savoir si je mets sa en justification, mais justement le etc... correspond a quoi ?

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 21:42

Le etc… qui signifie « etcétéra » veut dire « et ainsi de suite » jusqu'à n (nombre entier quelconque).
Est-ce clair ?

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 21:44

D'accord , je pensais que cela voulais dire jusqu'a un nombre de n c'est pour cela que j'avais demandé jusqu'a combien de n , maintenant cela me semble plus claire

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 21:47

alma78 @ 02-01-2022 à 21:25

Maintenant pour la question 2c on te demande : « Déterminer les variations de la suite (un ) ainsi définie. »
Sachant que un = u0 - 0,11*n que peux-tu dire sur la variation de un en fonction de n ?

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 21:53

On peut dire que plus le n est grand plus Un est petit

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 22:00

Oui. On peut écrire que la suite un est décroissante en fonction de n.
Question subsidiaire (non demandée dans ton exercice) :
Saurais-tu dessiner un en fonction de n ?
Pour quelle valeur de n on obtient un = 0 ?
Les alpinistes peuvent ils vraiment utiliser la règle simplifiée ?

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 22:10

Oui j'ai tracé la courbe sur ma numworks, pour 9211,363636 n on obtient 0. Les alpinistes peuvent utiliser cette règle vu que aucune montagne ne va aussi haut

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 22:12

Parfait. Bonnes réponses

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 22:15

Du coup quand on me demande a la question 2c de determiner les variations de la suite , je dits que la suite est arithmetique est que la suite est décroissante en fonction de n  ?

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 22:20

Pour la 2c, tu n'es pas obligé de dire que la suite est arithmétique de raison -0,11 car ce n'est pas demandé dans l'exercice.  Si tu le dis, c'est du « plus ».  Tu peux te contenter de dire que la suite est décroissante en fonction de n car le coefficient de n est négatif (il vaut -0,11).

Posté par
TheArcAngel
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 22:21

OK merci infiniment pour votre aide
Bonne Soirée

Posté par
alma78
re : Exercies Suites montrer que pour tout n 02-01-22 à 22:24

Je t'en prie.
A bientôt sur l'



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