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exercisse sur les uites
J'aide un élève et cela fait un moment que je n'ai pu fait les suites. J'ai vraiment du mal à résoudre le problème :
1. Etudier la convergence de la suite (Un) définie pour n entier naturel non nul par :
Un = racine(2+racine(2+....+racine(2))) (n radicaux) pour n entier non nul.
2. Soit f, la fonction définie sur l'intervalle [0;1] par f(x) = x - 2racine(x) + 1. La courbe représentative de la fonction f est elle un arc de cercle
Merci pour l'aide ou les renseignements que vous pourrez m'apporter
Bonne réception
Ce que je pense :
pour la question 1), il faut exhiber une relation de récurrence.
pour la question 2), en élevant les deux membres de l'équation au carré, si on parviens à exhiber une équation du type (y-a)²+(x-b)²-R²=0, alors c'est un arc de cercle, sinon...
Bonsoir;
1. la relation de récurrence est un+1 = 
(2+un)
2. Il faut procéder par condition nécessaire et vérification
Si c'est un arc de cercle alors son centre ne peut être que le point I de coordonnées (1 ; 1) et son rayon ne peut être que 1 car la courbe est tangente aux axes aux points de coordonnées (1 ; 0) et (0 ; 1)
Vérification: le point de coordonnées (1/4 ; 1/4) appartient à la courbe (point trouvé en résolvant x = f(x)). Est-il sur le cercle de centre I de rayon 1?
Bon courage
La suite est croissante de toute évidence (on ajoute 2 à un sous la dernière racine pour obtenir un+1).
Cette suite est bornée u1<2,u2=2+u1<2,...par récurrence on démontre que si un<2, un+1=(2+un)<(2+2)=2.
Elle est donc croissante et bornée donc convergente.
2)2x= x-y+1. soit en élevant au carré et en développant, on a une expression comportant des termes en xy, donc pas possible de la mettre sous la forme (y-a)²+(x-b)²-R²=0,donc ce n'est pas un arc de cercle.
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