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Exerice géométrie niveau maths sup
Bonjour a tous
ABC est un triangle dont les points ont pour affixes a,b et c.On construit a l extérieur de ce triangle les triangles équilatéraux directs APB,BQC et CRA.
Je dois montrer que les centres de gravité U,V,W de ces trois triangles forment un triangle équilatéral.
J ai montré dans des questions antérieures que abc était un triangle équilatéral si et seulement si:
- a+bj+cj²=0 ou j=exp(2i*pi/3)
- a²+b²+c²=ab+bc+ca
Mais je n arrive vraiment pas a montrer le reste....
Merci d avance.
APB equilaltéral <-> a+pj+bj²=0 et ...
BQC equilaltéral <-> b+qj+cj²=0 et ...
CRA equilaltéral <-> c+rj+aj²=0 et ...
on utilise ça pour prouver que p+qj+rj²=0 et p²+q²+r²=pq+pr+qr (remarque : c'est aussi a²+b²+c² et donc ab+ac+bc)
On sait ensuite que U, V et W ont pour affixes u=(a+b+p)/3, v=(b+c+q)/3 et w=(a+c+r)/3.
On essaie de démontrer que u+vj+wj²=0 (ça c'est très simple avec toutes les hypothèses qu'on a) et u²+v²+w²=uv+uw+vw, là c'est lourd.
Mais quand on écrit le développement, on voit apparaitre des a²+b²+c² ou des choses qui lui sont égales comme ab+ac+bc ou (a+b+c)(p+q+r)=(a+b+c)²=3a²+3b²+3c² (facile à démontrer) ou encore pc+qa+rb=ab+bc+ac=a²+b²+c² : au final on prouve que u²+v²+w² = a²+b²+c² = uv+uw+vw.
Donc UVW est équilatéral direct.
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