Soit f : [a, b] → R une fonction r ́egl ́ee. Le but de l'exercice est de mon- trer que l'ensemble des points de discontinuit ́e de f est d ́enombrable ( ́eventuellement fini).
(1) Justifier l'existence d'une suite (φn) de fonctions en escalier telle que ∀n∀t∈[a,b] : |φn(t)−f(t)|≤2−n.
(2) On note G l'ensemble des points t ∈ [a, b] qui sont des points de continuit ́e de toutes les fonctions φn. En observant qu'une fonction en escalier n'a qu'un nombre fini de points de discontinuit ́e, montrer que D = [a, b] \ G est d ́enombrable.
(3) Dans cette question, on veut montrer que tout point de G est un point de continuit ́e de f. On fixe donc t0 ∈ G et ε > 0, et on cherche `a montrer qu'il existe δ > 0 tel que |f(x)−f(t0)| < ε pour tout x ∈ [a,b] v ́erifiant |x−t0| < δ.
(a) Justifier l'existence d'un entier n tel que ∀t ∈ [a, b] : |φn(t)−f(t)| ≤ ε/3.
(b) Montrerque∀x∈[a,b] : |f(x)−f(t0)|≤2ε/3+|φn(x)−φn(t0)|.
(c) Conclure.
(4) D ́emontrer le résultat souhaité.
Pouvez vous m'aider je suis perdu svp
Pour le (2) d'après l'indication D est une union dénombrable d'ensemble de cardinal fini, c'est donc un ensemble au plus dénombrable.
La (1) bien sûr vient de la définition.
pour la (3).
D'après la question 1) il existe un n_0 tel que tout n>n_0 vérifie 2^(-n)< epsilon/.3
Soit donc n>n_0, on a |f(x)-f(t_0)|=|(f(x)-fi_n(x))+ (fi_n(x)-fi_n(t0))+(fi_n(t0)-f(t0)|
<=|(f(x)-fi_n(x))|+ |(fi_n(x)-fi_n(t0))|+|(fi_n(t0)-f(t0)|<= epsilon/3+ |(fi_n(x)-fi_n(t0))|+epsilon/3
'c'est pas bien écrit, j'espère que tu comprends c'est du direct)
Pour finir tu peux utiliser la continuité de fi_n en t_0
C'est pas très compliqué mais il faut être rigoureux dans l'écriture ce que je ne pex pas faire ici.
d'accord merci j'essai de faire ca demain je pourrai te l'envoyer demain pour que tu vois si je n'ai pas fais d'erreur ? Pour la 1 il faut utiliser la definition c'est tout ?
Une fonction réglée (sauf erreur) est par définition une fonction qui est limite uniforme de fonction en escalier.
Or la question (1) veut dire exactement cela:
||\phi_n-f||\leq 2^(-n) (ici il s'agit de la norme de la cvu dit encore "norme du sup")
i.e lim_||\phi_n-f||=0
salut
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