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Niveau Licence Maths 1e ann
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exerxice de td

Posté par
maths19
10-01-18 à 00:04

Soit f : [a, b] → R une fonction r ́egl ́ee. Le but de l'exercice est de mon- trer que l'ensemble des points de discontinuit ́e de f est d ́enombrable ( ́eventuellement fini).

(1) Justifier l'existence d'une suite (φn) de fonctions en escalier telle que ∀n∀t∈[a,b] : |φn(t)−f(t)|≤2−n.

(2) On note G l'ensemble des points t ∈ [a, b] qui sont des points de continuit ́e de toutes les fonctions φn. En observant qu'une fonction en escalier n'a qu'un nombre fini de points de discontinuit ́e, montrer que D = [a, b] \ G est d ́enombrable.

(3) Dans cette question, on veut montrer que tout point de G est un point de continuit ́e de f. On fixe donc t0 ∈ G et ε > 0, et on cherche `a montrer qu'il existe δ > 0 tel que |f(x)−f(t0)| < ε pour tout x ∈ [a,b] v ́erifiant |x−t0| < δ.

(a) Justifier l'existence d'un entier n tel que ∀t ∈ [a, b] : |φn(t)−f(t)| ≤ ε/3.

(b) Montrerque∀x∈[a,b] : |f(x)−f(t0)|≤2ε/3+|φn(x)−φn(t0)|.

(c) Conclure.

(4) D ́emontrer le résultat souhaité.

Pouvez vous m'aider je suis perdu svp

Posté par
jb2017
re : exerxice de td 10-01-18 à 00:16

Bonjour la question (1)  c'est 2^(-n)??

Posté par
maths19
re : exerxice de td 10-01-18 à 01:05

oui c'est exactement ça ^^

Posté par
jb2017
re : exerxice de td 10-01-18 à 01:07

Pour le (2) d'après l'indication D est une union dénombrable d'ensemble de cardinal fini, c'est donc un ensemble au plus dénombrable.

Posté par
maths19
re : exerxice de td 10-01-18 à 01:12

d'accord ^^ merci ^^

Posté par
jb2017
re : exerxice de td 10-01-18 à 01:14

La (1) bien sûr vient de la définition.
pour la (3).


D'après la question 1) il existe un n_0  tel que tout n>n_0 vérifie 2^(-n)< epsilon/.3

Soit donc n>n_0, on a |f(x)-f(t_0)|=|(f(x)-fi_n(x))+ (fi_n(x)-fi_n(t0))+(fi_n(t0)-f(t0)|
<=|(f(x)-fi_n(x))|+ |(fi_n(x)-fi_n(t0))|+|(fi_n(t0)-f(t0)|<= epsilon/3+ |(fi_n(x)-fi_n(t0))|+epsilon/3

'c'est pas bien écrit, j'espère que tu comprends c'est du direct)

Posté par
jb2017
re : exerxice de td 10-01-18 à 01:16

Pour finir tu peux utiliser la continuité de fi_n en t_0
C'est pas très compliqué  mais il faut être rigoureux dans l'écriture ce que je ne pex pas faire ici.

Posté par
maths19
re : exerxice de td 10-01-18 à 01:18

d'accord merci j'essai de faire ca demain je pourrai te l'envoyer demain pour que tu vois si je n'ai pas fais d'erreur ? Pour la 1 il faut utiliser la definition c'est tout ?

Posté par
jb2017
re : exerxice de td 10-01-18 à 01:23

Une fonction réglée (sauf erreur) est par définition une fonction qui est limite uniforme de fonction en escalier.
Or la question (1) veut dire exactement cela:
||\phi_n-f||\leq 2^(-n)     (ici il s'agit de la norme de la cvu dit encore  "norme du sup")
i.e lim_||\phi_n-f||=0

Posté par
maths19
re : exerxice de td 10-01-18 à 01:28

ah d'accord ^^je me casse la tete pour rien en faite je partais loins pour cette question mdr

Posté par
Lea28
re : exerxice de td 10-01-18 à 19:14

Salut est ce que t'es en L1 à Lens ? Si oui t'as trouvé des résultats d'exos sur internet ?

Posté par
carpediem
re : exerxice de td 11-01-18 à 14:43

salut

jb2017 @ 10-01-2018 à 01:23

Une fonction réglée (sauf erreur) est par définition une fonction qui est limite uniforme de fonction en escalier.
Or la question (1) veut dire exactement cela:
||\phi_n-f||\leq 2^(-n)     (ici il s'agit de la norme de la cvu dit encore  "norme du sup")
i.e lim_||\phi_n-f||=0

maths19 @ 10-01-2018 à 01:28

ah d'accord ^^je me casse la tete pour rien en faite je partais loins pour cette question mdr

ben peut-être pas ...

encore faudrait-il savoir ce que tu possèdes comme définition d'une fonction réglée ...

Posté par
maths19
re : exerxice de td 11-01-18 à 23:58

J'ai pris la seul definition de mon cours sur la fonction réglée et c'est en rapport

Posté par
carpediem
re : exerxice de td 12-01-18 à 10:47

ça ne nous dit toujours pas quelle est-elle ...



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