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Exerxice sur produit scalaire
Bonsoir tout le monde : )
Notre professeur nous a donné un exercixe qui me paraît assez compliqué. Je n'ai réussi que le 1) de l'énoncé.
Soit ABC un triangle quelconque.
1)À l'aide de la relation BC2=(+
) .
démontrer que l'on a a=bcos(C)+ccos(B).
AB=c; BC=a ; AC=b
2) Soit p le pied sur (BC) de la hauteur issue de A. En posant =x
et en évaluant le produit scalaire
.
montrer que:=(c/a*cos(B))*
et
=(b/a*cos(C))*
.
3) On désigne K par le point défini par:
acos(B)cos(C)+bcos(C)cos(A)
+ccos(A)cos(B)
=0
a. Montrer que cos(B)cos(C)+cos(A)
=0. En déduire que K appartient à la hauteur issue de A.
b. Prouver que K n'est autre que l'orthocentre H du triangle ABC.
Pour le 1) j'ai fait:
vecBC2=
vecBA.vecBC+vecAC.vecBC=
BA*BC*cos(B)+AC*BC*cos(C)
Ce qui me donne ensuite:
a2=cacos(B)+bacos(C)
On divise tout par a ce qui donne l'expression de l'énoncé.
Merci d'avance pour l'aide 
Salut !
Pour la 2), remarque que car vecBP est le projeté orthogonal de vecBA sur vecBC
Tu as deux manières maintenant de calculer : la manière conventionnelle avec BC, BA et cosB, et l'autre manière avec BC et BP
Bonjour et Merci!
j' avais déjà pensé au projeté orthogonal ça me donnait d'une part .
=ac*cos(B)
Et de l'autre .
=ac
Par contre l'égalité m'est complètement passée au-dessus de la tête! donc j'imagine que ça me donne:
ac*cos(B)=ac
Mais à partir de là je sèche...
Pour le 3) j'ai pensé à tout diviser par a ce qui donnait:
Cos(B)cos(C)vecKA+ b/a*cos(B)cos(A)vecKB+c/a*cos(A)cos(B)vecKA=0
On retrouve un bout de l'expression qu'il faut démontrer du 2) mais là encore je ne sais pas quoi en faire.
3) La relation de définition du point K me paraît boiteuse. Ne serait-ce pas KC au lieu de KA à la fin du premier membre ?
a. Selon la relation à démontrer, les vecteurs KA et CB seraient colinéaires, ce qui est impossible . . . .
3) Il y a bien écrit à la fin du premier membre.
a-Pour celui-ci ce ne serait pas plutôt leur orthogonalité qui est à démontrer? Puisque la suite de la question est en déduire que K appartient à la hauteur issue de A du coup (AK) perpendiculaire à ( CB) ce qui fait que leur produit scalaire est nul.
a. ...Ou je crois que mon explication se crashe puisque c'est une somme et non un produit scalaire :,)
Bonjour,
3. C'est bien KC au lieu de KA à la fin du premier membre. car on a bien
par contre:
3a) Montrer que semble bien erroné
il faut Montrer que
D'accord merci, je vais le signaler à mon prof : ).
Sinon , pourriez vous m'aider encore un peu pour le 2) je bloque toujours dessus. ><
Bonjour
question 2) En posant et en évaluant le produit scalaire
montrer que :
x, cest le rapport algébrique des segments orienté BP et BA soit BP/BA
Le produit scalaire c'est (ac)cos(B) avec a et c positifs, le signe étant donné par le cos(B)
d'où c*cos(B)=valeur algébrique du segment orienté BP.
Que dire de plus ???
Merci beaucoup pour votre aide, donc si je ne trompe pas on fait:
vecBC.vecBA=ac*cos(B)
Ensuite on projette B sur BC ce qui donne
vecBP.vecBC=ac*cos(B)
<=>BP=c*cos(B) (puisque BC=a)
Puis on divise c*cos(B) par a pour se retrouver avec l'expression et on multiplie par BC pour "compenser".
BP=(c/a*cos(B))*BC
Est ce normal que je me retrouve avec des normes et non des vecteurs à la fin?
Au passage mon professeur a bien corrigé l'erreur d'énoncé.
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