Bonjour,

Il y a un détail qui m'échappe dans la preuve d'existence d'un corps de décomposition.

On se donne P(X) non constant dans un corps à polynômes K[X], K corps commutatif. Le résultat dont je parle dit qu'il existe un corps de décomposition (sur K) de P(X).

Pour la preuve, elle se fait par récurrence sur le degré de P(X). Ok en degré 1, puis on veut le montrer en degré strictement plus grand que 1.
On se donne un facteur irréductible P1(X) (sur K) de P(X) et on considère le corps de rupture K[X]/(P1).

Mais voilà ensuite on dit que ce dernier est isomorphe à K(a) avec P1(a)=0. Mais là j'ai l'impression qu'on invoque une clôture algébrique (normalement cette notion arrive après), sinon où vit l'élément a ? En fait si on trouve une extension où P1(X) admet cette racine a je suis d'accord avec l'isomorphisme. Mais ici ,a priori, on sait pas si cette extension existe (Admettons qu'on soit quelques années en arrière et qu'on ait pas de clôture algébrique. Par exemple imaginons que C n'est pas été construit, alors parlé de R(i) n'a pas de sens car i inconnu mais parlé de R[X]/(X^2+1) ok.).

J'aimerais donc finir la preuve sans me placer sur K(a), mais seulement sur K[X]/(P1). Mais j'ai du mal à trouver un facteur de degré 1 de P(Y) vu sur (K[X]/(P1))[Y]..

Ensuite je comprends bien.

Merci de votre aide.