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existence d'un polynome
bonjour
pouvez vous m'aider pour l'exo suivant
a - mq 
n
P
[X] tq x* Pn(x+1/x) = xn+1/xn
b - determiner les racines de Pn ( prendre x = ei
)
c - decomposer 1/Pn
a - en calculant (x+1/x)n-(xn+1/xn) pour de petites valeurs de n , j'ai conjecture la relation de récurrence suivante Pn(x) = xn - 
Cnk Pn-2k(x) avec k de 1 a [n/2] , je n'ai pas reussi a la montrer par recurrence a cause de l'heredite mais je l'ai utiliser dans un raisonnement par recurrence forte pour montrer que Pn est un polynome
b - je trouve P(n(ei + e-i) = 2cos(n) puis les racines sont ak = 2cos(
/2n+k/n) avec k de 0 a n-1
c- n'étant pas sur des réponses précédentes je ne l'ai pas encore cherche
merci a vous
bonsoir
c - Pn(x) = 
x-ak donc 1/Pn(x) = bk/x-ak avec bk = 1/ak-ai avec i de 0 a n-1 , je sais qu'elle vaut aussi 1/P'(ak) mais je n'arrive pas a simplifier davantage.
merci
Pn est unitaire de degré n .
Pour tout t réel on a : Pn(exp(it)) = 2cos(nt)
Si pour k {1 , 2 , .... , n} on pose t(k) = (2k - 1)/2n et r(k) = exp(it(k)) on a donc P(r(k)) = 0 .
{ r(k) │ k {1 , 2 , .... , n} est donc l' ensemble des racines de Pn( qui sont simples ).
Le résidu de 1/Pn en r(k) est 1/P'n (r(k)) qu'on évalue en se servant t du fait qu'on a , pour tout t , Pn(exp(it)) = 2 cos(nt) et donc aussi iexp(it)Pn'(exp(it)) = -2 nsin(nt) .
Bonjour maro999,
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comment je peux faire ça??
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