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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Existence d’une limite fonction à 2 variable

Posté par
mimomaths
15-01-21 à 12:53

Salut
SVP aider moi à résoudre cette question:
Étudier l'existence d'une limite en (0;0)
 f(x)=\frac{(x^2+y^2)^2}{x^2-y^2}
Et merci

Posté par
phyelec78
re : Existence d’une limite fonction à 2 variable 15-01-21 à 13:11

Bonjour,

passer en coordonnées polaires.

Posté par
GBZM
re : Existence d’une limite fonction à 2 variable 15-01-21 à 13:47

Bonjour,

Vu le dénominateur, quand on approche de (0,0) en collant à la droite y=x, ça craint. Les coordonnées polaires ne sont pas forcément le meilleur moyen de mettre ça en évidence.

Posté par
DOMOREA
Existence d’une limite fonction à 2 variable 15-01-21 à 14:34

bonjour,
regarde la limite si y=0 et x tendant  vers 0
mais soit   t tendant ders 0. En posant x^2=\frac{t^2+t^5}{2} et y^2=\frac{t^2-t^5}{2} que vois-tu ?
alors que conclure ?

Posté par
phyelec78
re : Existence d’une limite fonction à 2 variable 15-01-21 à 14:39

@GBM, effectivement, j'ai le réflexe de penser aux coordonnées polaires quand je vois des x2 et y2. Dans cette situation on pourrait étudier la limite de f(0, -1/n) quand n tend vers moins l'infini et étudier la limite de  f(0, 1/n) quand n tend vers plus l'infini et

Posté par
mousse42
re : Existence d’une limite fonction à 2 variable 15-01-21 à 20:30

Salut

On peut faire ceci il me semble :

 |f(x)|=\dfrac{(x^2+y^2)^2}{|x^2-y^2|}\le\dfrac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2} =\dfrac{||(x,y)||^4_2}{||x,y||^2_2}=||(x,y)||^2_2\to 0

Posté par
mousse42
re : Existence d’une limite fonction à 2 variable 15-01-21 à 20:31

ah non, je me suis planté, je viens de le voir juste après l'avoir posté

Posté par
mimomaths
re : Existence d?une limite fonction à 2 variable 15-01-21 à 20:39

Merci pour vos interventions
J?ai essayer d?écrire à la main toutes les propositions (voir l?image au dessous)
Mais je vois que le changement du variable proposé par @DOMOREA est correcte.
Que pensez vous?

* Modération > Image effacée. Merci d'utiliser les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques *

Posté par
phyelec78
re : Existence d’une limite fonction à 2 variable 15-01-21 à 21:55

je suppose que la partie avec Un, correspond à ce que vous avez compris que je proposais. En fait ce n'est pas cela :

f(0,-1/n) = -1/n2 qui tend vers 0 quand n tend vers moins l'infini
f(0,1/n) = -1/n2 qui tend vers 0 quand n tend vers plus  l'infini

Posté par
mimomaths
re : Existence d’une limite fonction à 2 variable 15-01-21 à 22:43

Merci @phyelec78
Je pense ke l'utilisation des suites c'est pour montrer que la limite n'existe en trouvant deux limites différentes
Mais si la limite existe cette ne permet pas de déduire l'existence de la limite
N'est ce pas?

Posté par
lafol Moderateur
re : Existence d’une limite fonction à 2 variable 15-01-21 à 23:09

Bonsoir
ça pique un peu les yeux, cette limite de 1/t quand t tend vers 0 qui serait égale à 0 ...

Posté par
mimomaths
re : Existence d’une limite fonction à 2 variable 15-01-21 à 23:18

Je m'excuse j'ai commit une erreur
Limite 1/t quand t tend vers 0 c'est l'infini et non pas 0

Posté par
Razes
re : Existence d’une limite fonction à 2 variable 15-01-21 à 23:54

Bonsoir tout le monde,

mimomaths, avec ce qu'on t a proposé (phyelec78, GBZM et DOMOREA), la conclusion est évidente (sans ton erreur de calcul bien sur).

Un paramétrage similaire a ce qu'a propose DOMOREA te permettra d'obtenir la limite que tu veux.

Si on souhaite avoir une limite positive, choisir \alpha .
\left\{\begin{matrix}x^{2}=t^{2}+\alpha t\\ y^{2}=-t^{2}+\alpha t\end{matrix}\right.\\\lim_{t\to 0} (x,y)=(0,0)\Rightarrow f(x,y)=\frac{\alpha^{2}t^{2}}{2t^{2}}=\frac{\alpha^{2}}{2}

Si on souhaite avoir une limite négative, choisir \alpha .
\left\{\begin{matrix}x^{2}=-t^{2}+\alpha t\\ y^{2}=t^{2}+\alpha t\end{matrix}\right.\\\lim_{t\to 0} (x,y)=(0,0)\Rightarrow f(x,y)=-\frac{\alpha^{2}t^{2}}{2t^{2}}=-\frac{\alpha^{2}}{2}

pour une limite nulle, prendre: y=\alpha x avec x\neq -1 et x\neq 1

Pour l'infini prendre x=y

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Existence d’une limite fonction à 2 variable 16-01-21 à 07:44

Bonjour,
Merci aux aidants de ne pas répondre à une image non autorisée.

@mimomaths,

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?



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