Niveau Licence Maths 1e ann

Existence de la borne sup dans R

Posté par
Osmund 24-02-21 à 18:04

Bonjour,

J'ai quelques questions élémentaires (mais je ne suis pas matheux "pur", soyez indulgents ) par rapport à une démonstration de l'existence de la borne supérieure dans $\mathbb{R}$ . Il faut avant cela que je remonte à l'énoncé dont je dispose pour la propriété d'Archimède :

Citation :
Propriété d'Archimède : soient $x$ et $\varepsilon$ des nombres réels positifs. Alors il existe un entier positif $N$ tel que $N\varepsilon > x$ .

1. Première question : on est d'accord que la restriction aux $x$ positifs n'est pas nécessaire, et que cela marche en réalité pour tout réel $x$ ?
Aussi, la démonstration dont je dispose montre d'abord la version large de l'inégalité $N\varepsilon \geq x$ avant de conclure pour la version stricte, donc on peut aussi utiliser la version large ci-dessous.

Passons donc à l'existence de la borne sup pour tout ensemble E non vide et majoré inclus dans R. Ma preuve commence par :

Citation :
Soit M un majorant de E. Puisque E est non vide, il existe un élément $x_0 \in E$ .
Soit $n \geq 1$ un nombre entier. Par la propriété d'Archimède, il existe un entier $K$ tel que $K/n \geq M$ , et donc $K/n$ est aussi un majorant de E.

2. Ici, il s'agit donc de la propriété d'Archimède ("version large") en prenant $\varepsilon = 1/n$ et $x = M$ , à priori. Comme il n'est pas supposé que le majorant $M$ est positif, mes deux questions du point 1 sont importantes, parce que l'énoncé "brut" ne peut en réalité pas être appliqué ici.
Ensuite :

Citation :
Encore par la propriété d'Archimède, il existe un autre entier $L$ tel que $L/n < x_0$ . Puisque $x_0 \in E$ , cela veut dire que $L/n$ n'est pas un majorant de E. Comme $K/n$ est un majorant et que $L/n$ ne l'est pas, on a $K \geq L$ .
[etc.]

3. Comment fait-on pour construire ce fameux entier $L$ ? (D'ailleurs, il est soudainement question d'un "entier", et pas d'un "entier positif".) Je dois être fatigué mais ça ne me semble pas non plus découler immédiatement de l'énoncé dont je dispose...

Merci !

Posté par re : Existence de la borne sup dans R 24-02-21 à 18:15

Bonjour,

Une question préliminaire : à partir de quoi démontres-tu que tout ensemble non vide majoré de réels admet une borne supérieure ?
Tu as une présentation axiomatique du corps des nombres réels ? Avec quels axiomes ?

Posté par re : Existence de la borne sup dans R 24-02-21 à 18:30

Bonjour,
Ça s'insère dans un cadre général où on construit les nombres réels comme limites formelles de suites de Cauchy :

Citation :
Un nombre réel est défini comme un objet de la forme $LIM_{n \rightarrow \infty} a_n$ , où $(a_n)$ est une suite de Cauchy de nombres rationnels. Deux nombres réels $LIM_{n \rightarrow \infty} a_n$ et $LIM_{n \rightarrow \infty} b_n$ sont égaux ssi $(a_n)$ et $(b_n)$ sont des suites de Cauchy équivalentes.

Pour ce chapitre-là, il n'y a pas d'axiomes à proprement parler : tout est fait de manière constructive à partir de ce point d'entrée.

Posté par re : Existence de la borne sup dans R 24-02-21 à 20:12

Ok. Bon, le constructivisme est assez relatif, mais je ne veux pas insister là-dessus.
Pour Archimède, ce qui est utile de savoir pour $x$ négatif, c'est qu'il existe un entier naturel $N$ tel que $-N\epsilon < x$ . Ça sert après pour obtenir par dichotomie la borne supérieure d'un ensemble non vide majoré de nombres réels.

Posté par re : Existence de la borne sup dans R 24-02-21 à 20:35

GBZM @ 24-02-2021 à 20:12

Ok. Bon, le constructivisme est assez relatif, mais je ne veux pas insister là-dessus.

Ça m'intéresse d'insister au contraire !

Si tu veux détailler ne te gêne pas, ça m'aiderait à avoir un recul sur ce cours et cette approche de construction de R.

Citation :
Pour Archimède, ce qui est utile de savoir pour $x$ négatif, c'est qu'il existe un entier naturel $N$ tel que $-N\epsilon < x$ .

Et là pareil, l'hypothèse " $x$ négatif" est facultative aussi, si je comprends bien (c'est d'ailleurs ce qui nous permet de nous en sortir ici pour trouver ce fameux $L$ ).
Bon c'était simple en fait, arf... Merci à toi !

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