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Existence de la limite
Salut
Svp comment on peut montrer que la lim de la fonction (1-cos(racine x))/sin x n'existe pas
Bonjour
comment peut-on faire tendre x vers l'infini quand le dénominateur s'annule régulièrement ? cette question n'a guère plus de sens que demander quelle est la limite de tan x lorsque x tend vers l'infini
Si A := 
+ \ 
et f : A 
, x 
f(x) := (1 - cos(x1/2))/sin x , la question de savoir si f(x) a une limite quand x tend vers +
a un sens .
De même pour tan : \ (/2 + ) .
Il est bien dommage que tu " ne penses pas " !
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{ [t , +[ 
A │ t 
} engendre un filtre F sur A .
L'application f : A a ou n'a pas de limite suivant F .
Si on ne veut pas parler de filtre on peut " quantifier " ( càd écrire avec des quantificateurs " l'expression :
" (1 - cos(x1/2))/sin x a une limite dans quand x tend vers + en restant dans A "
ou " (1 - cos(x1/2))/sin x ne converge pas dans quand x tend vers + en restant dans A "
Bonjour à tous,
Sur l'intérêt de parler de limite "quand le dénominateur s'annule régulièrement" :
Que penser de f définie par
@carpediem,
Je croyais que, pour faire des mathématiques, il fallait penser 
il suffit de considérer les réels x = n 
h avec h > 0 "très petit" ...
quant à l'exemple artificiel de multiplier par 0/0 je comprends bien ce que tu veux dire ...
Bonjour 
Pour appuyer les dire d'etniopal, "je pense" (eh oui, on est lundi matin ) que quand on donne une fonction sous forme d'un terme général, il faut revenir aux fondamentaux et ne pas rester coincé sur la "formule".
On peut donner un sens à la notion de limite pour des fonctions dont le dénominateur de la "formule" (présentation tant appréciée par les étudiants, mais ô combien fatale dans certain cas) s'annule régulièrement. Deux solutions possibles :
- On donne les valeurs aux points où le dénominateur s'annule :
mafonction(x) = 1/sin(x) si x 
mafonction(x) = 0 sinon.
- On dit que la fonction n'est pas définie sur les points critiques et on parle d'application.
mafonction : \; mafonction(x) = 1/sin(x)
Et évidemment, on parle de limite en l'infini sur \ ... c'est faisable ! ... via les filtres.
Il suffit d'exhiber une suite xn qui tend vers l'infini, en restant dans le domaine de définition et telle que mafonction(xn) tende vers +.
Si E est un topologique , A une de ses parties , c E \ A mais adhérent à A , f une application de A vers un autre topologique F , on sait ce que veut dire " f(x) converge quand x tend vers c " ( et donc aussi sa négation )
Pourquoi cette pudeur et ces cris d'orfraie (que j'imagine ) lorsqu'il s'agit de
... E = F = , A =
\ , c = + , f : A , x (…)/sin(x) ?
ou
… E = F = , A =
\ , f : A , x (x - E(x))((2x - 1)/(x - E(x)( x + 3) = (2 x - 1)/(x + 3) !!!
?
Bonjour etniopal et jsvdb !
Je pense que vous exagérez un peu !
La notion de filtre et base de filtre n'est pas au programme des prépas et les élèves DOIVENT, avant de parler de limite, vérifier que la fonction est définie sur un voisinage (éventuellement épointé, ici sans objet) de .
Effectivement, en prenant des restrictions de la fonction (ou en la "définissant" là où elle ne l'est pas) on peut envisager l'étude d'existence d'une limite !
Dans le cas présent, trouver des suites de limite infinie telles que les images n'ont pas la même limite suffit amplement.
@ jsvdb Trouver une suite où la limite est ne suffit pas !
Ne suffit pas à quoi ?
A dire que la fonction n'a pas de limite finie en ? Il me semble que si ?!
Pour moi, trouver une telle suite suffit à dire que la limite (dans ) d'une fonction n'existe pas en
.
Tendre vers en
est un cas de divergence où la conclusion est l'absence de limite.
Parce qu'après, faudrait savoir, on travaille dans , mais on utilise les notations de
pour finalement donner des conclusions que l'on ferait dans
, mais tout en disant qu'en fait on travaille dans
. Même Raymond Devos y perdrait son humour.
Si la "soi-disant" limite est , (parce qu'encore une fois, on utilise le vocabulaire de la droite achevée mais en réalité on travaille avec la droite réelle) alors y'a pas de limite, parce que quand c'est limité, alors c'est limité... à un nombre fini ! Sinon on dit que c'est pas limité et donc y'a pas convergence puisque
n'est pas un nombre réel. Donc ça suffit.
Oui, je sais, l'accroche de Toy Story c'est "vers l'infini et au-delà", ce qui laisserait entendre que l'infini est limité ...
jsvdb tu nous fais un mauvais procès !
Parler d'une limite en en refusant une limite infinie parce qu'elle n'est pas réelle (finie) c'est un peu capillotracté !
Ou alors tu ne parles pas non plus de "limite en " mais écris tout à l'aide de la base de filtre des complémentaires desparties majorées...
Tout ce que je reconnais, c'est juste le côté pratique de la notation "" pour désigner une "progression non majorée du côté positif". C'est parlant pour tout élève.
Et oui, quand je l'utilise, je n'ai de cesse de penser "filtre", comme tu le dis, à l'aide de la base formée des complémentaires des parties majorées. Mais évidemment, je ne le dis pas à chaque fois...
Avoir pour limite (mettons dans
) si cela peut éviter une crise d'urticaire) est beaucoup plus fort que "progression (de réels) non majorée du côté positif".
Puisque tu sais donner un nom à la situation du côté "variable" en utilisant "base de filtre" avec un effort supplémentaire tu pourrais donner un nom à la même situation du côté des valeurs de la fonction !
Reste à savoir si le "chamboulement" causé dans les ouvrages existants vaut la peine !
et je peux te dire que même moi avec mon agreg ben les filtres je ne les ai rarement utilisés autrement que pour mes clopes (que je me roule) 
aussi jusqu'à bac + 4 (à peine équivalent à mon bac + 2) je pense qu'on peut laisser tomber les filtres pour en rester aux bases : le langage des limites appris au lycée ...
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