Existence de Polynôme

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Existence de Polynôme
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Dexter2017  30-07-14 à 21:35
Bonjour,
 Dans ce problème, il est question d'évaluer l'existence d'un polynôme P à coefficients entiers vérifiant :
  et  

 C'est la première fois que je tombe sur pareil exercice. Autant dire que je n'ai aucune idée assez concrète pour le résoudre. Il s'agit cependant d'un problème issu d'un manuel de seconde, la solution doit être nécessairement élémentaire. Pour l'heure, mes recherches restent infructueuses ( J'étudie la divisibilité, essaye de réaliser quelques encadrement...en vain). 
 
 Je ne demande que quelques pistes ou un schéma de démonstration que je pourrai développé, je sollicite également votre patience et vous prie de bien vouloir m'aider à acquérir cette aptitude que constitue la résolution de ces problèmes dans le cas général où par exemple, on aurait: 
 et ( sont des entiers).  

 Merci. 

édit Océane : forum modifié
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jeveuxbientaiderre : Existence de Polynôme  30-07-14 à 21:39
bonjour, 

Niveau seconde faut pas chercher beaucoup plus loin que des polynômes de degré 1 (voir 2) 

L'équation de la droite passant par les points A (1;1) et B(2005;2006) devrait te permettre de répondre à ton énorme problème ! 
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jeveuxbientaiderre : Existence de Polynôme  30-07-14 à 21:48
Toutes mes excuses ma réponse, trop rapide, est stupide et complètement fausse ! 
 Posté par 
jeveuxbientaiderre : Existence de Polynôme  30-07-14 à 21:52
Si la question porte sur l'existence d'un tel polynôme et que tu n'en trouves pas .... Peut-être que la réponse et qu'un tel polynôme n'existe pas ! 
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Dexter2017re : Existence de Polynôme  30-07-14 à 23:21
Soit, Comment prouver qu'il n'existe pas ? 
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carpediemre : Existence de Polynôme  31-07-14 à 09:37
salut

il me semble que c'est un exercice d'une olympiades .... probablement de 2005 ou 2006 ... enfin peut-être essayer de voir les sujets ....
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jandri re : Existence de Polynôme  31-07-14 à 10:00
Bonjour,

Il faut utiliser la parité.

Si P(1)=1, la somme des coefficients de P est un entier impair.

Si P(2005)=2006 alors...
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Dexter2017re : Existence de Polynôme  31-07-14 à 18:09
Merci pour toutes vos contributions, L'argument de parité évoquée par jandri s'est révélée vraiment utile dans la suite de mes recherches : J'ai enfin pu le résoudre  : Un tel Polynôme n'existe pas.

 Une petite démonstration s'impose :

Par l'absurde, on suppose que P existe, 

   signifie que la somme des coefficients de P est impaire

Discutons à présent la parité de  :

Nous allons introduire 2 propositions supposées vraies : 

    proposition 1 : La parité d'un entier N non nul est conservée lorsqu'il est multiplié par un nombre impair. 

   proposition 2 : Soit S une somme d'entiers non nuls, la parité de S dépends de la parité de tous les termes de S.

En particulier, si la parité de  dépend de la somme de ces termes, la somme de ses monômes, étant multipliés par des nombres impairs (2005n,2005n-1,...,2005,1), dépend donc de la parité de la somme de ses coefficients ! On sait par ailleurs  la parité de cette somme : elle est impaire. Il advient donc que  est également impaire.Or  qui est pair.Contradiction.    

 La parité s'est révélée très efficace certes, mais je doute que l'on puisse l'étendre jusqu'au cas général, en particulier si l'on avait remplacer 2005 par un entier pair. 

 Le Problème reste entier et ouvert...  

 Posté par 
mikomariaExistence de polynôme  31-07-14 à 18:56
Bonsoir Dexter2017,

Une solution plus générale du problème posé:

Soit 

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

Alors

P(1) = an + an-1 +...+ a1 + a0 = 1.

 a0 = 1 - an -...-a1
  Posté par 
mikomariaExistence de polynôme  31-07-14 à 19:08
 P(x) = anxn - an + an-1xn-1 - an-1 + ... + 1

 P(x) = an(xn - 1) + an-1( xn-1 - 1 ) + ... + 1 = ( x - 1 )Q(x) + 1.

Donc  P(k) = (k-1)Q(k) + 1. Pour que cela soit possible, il faut que P(k) - 1  soit divisible par k-1. Or 2005 = P(2005)-1 n'est pas divisible par 2004...

Amicalement,

< mikomaria >