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Existence dérivées croisées en (0,0)

Posté par
martizic 14-11-23 à 16:48

Bonjour,
Voici un exercice avec lequel j'ai du mal...
Soit,
f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}} & \text{ si } (x,y) \neq (0,0)\\ 0& \text{ si } (x,y)= (0,0) \end{cases}

On admet que f \in C^{1}(R^{2}).

Vérifier que \frac{\delta ^{2}f}{\delta x\delta y}(0,0) et \frac{\delta ^{2}f}{\delta y\delta x}(0,0) existent.

Ensuite, vérifier si elles sont égales.


Je ne sais pas comment démontrer leur existence... Faut-il utiliser la formule :
\lim (t\rightarrow 0) de \frac{f(t,0)-f(0,0)}{t} \\ \lim (t\rightarrow 0) de \frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}
?

Ensuite, pour vérifier si elles sont égales, je comptes calculer les valeurs directement. Est-ce une bonne méthode?

merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : Existence dérivées croisées en (0,0) 14-11-23 à 17:00

Bonjour

Commence par calculer les dérivées partielles ailleurs qu'en (0,0).
Ensuite il faudra vérifier ce qui se passe quand (x,0) tend vers (0,0) et quand (0,y) tend vers (0,0). Tu trouveras les valeurs en (0,0) en calculant ces limites.

Je ne fais que passer, ces indications pour que tu puisses démarrer. Quelqu'un prendra ma suite.

Posté par
martizicre : Existence dérivées croisées en (0,0) 14-11-23 à 17:40

J'ai trouvé que :

\frac{\delta f}{\delta x} (x,y)= \frac{x^4y+3y^3x^2}{(x^2+y^2)^2}
\frac{\delta f}{\delta y} (x,y)= \frac{x^5-x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}

Je n'ai pas bien compris quels calculs dois-je faire maintenant...

Posté par
carpediemre : Existence dérivées croisées en (0,0) 14-11-23 à 18:56

salut

ben il faut continuer en calculant les dérivées croisées

puis étudier les limites comme le dit Camélia

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Existence dérivées croisées en (0,0) 14-11-23 à 19:15

Bonsoir

En écrivant \Large\boxed{\forall(x,y)\neq(0,0)~~,~~\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{x^4y+3y^3x^2}{(x^2+y^2)^2}=y\frac{x^2}{x^2+y^2}\frac{x^2+3y^2}{x^2+y^2}}

on voit que \Large\boxed{\forall(x,y)\neq(0,0)~~,~~\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\right|\leqslant3|y|}

et donc que \Large\boxed{\lim_{(x,y)\to(0,0)}~\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0} et comme f est supposée \mathcal C^1 on a \Large\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0} ...

Posté par
martizicre : Existence dérivées croisées en (0,0) 14-11-23 à 19:49

Je trouves que :
\frac{\delta ^2f}{\delta x\delta y} = \frac{\delta }{\delta x}(\frac{x^5-x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}) = \frac{x^6+6x^4y^2-3x^2y^4}{(x^2+y^2)^3}

et,

\frac{\delta ^2f}{\delta y\delta x} = \frac{\delta }{\delta y}(\frac{x^4y+3y^3x^2}{(x^2+y^2)^2}) = \frac{x^6+6x^4y^2-3x^2y^4}{(x^2+y^2)^3}


Donc les dérivées croisées en (x,y) sont égales ?

Je ne vois toujours pas quelles limites calculer...

Posté par
martizicre : Existence dérivées croisées en (0,0) 14-11-23 à 19:56

Bonsoir elhor_abdelali,

Pouvez-vous m'expliquer en quoi ce raisonnement repond-il à la question svp? La technique de majorer n'est pas uniquement utile pour dire si une fonction est continue en (0,0)?

Merci d'avance

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Existence dérivées croisées en (0,0) 14-11-23 à 20:44

Oui martizic

Eh bien pour pouvoir calculer \frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0) et \frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0) on a besoin des valeurs de \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) et \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)

maintenant que \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) est calculée (et vaut 0) on procède d'une manière analogue pour calculer \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)

en remarquant que \Large\boxed{\forall(x,y)\neq(0,0)~~,~~\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x^5-x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}=x\frac{x^2}{x^2+y^2}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}

et donc que \Large\boxed{\forall(x,y)\neq(0,0)~~,~~\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right|\leqslant|x|}

ce qui donne \Large\boxed{\lim_{(x,y)\to(0,0)}~\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0} et comme f est supposée \mathcal C^1 on a \Large\boxed{\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0}.

Et ainsi on a \Large\boxed{\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0)=\frac{\partial\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}{\partial y}(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,t)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{0-0}{t}=0}

et \Large\boxed{\frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=\frac{\partial\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}{\partial x}(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(t,0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{t-0}{t}=1} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
martizicre : Existence dérivées croisées en (0,0) 14-11-23 à 23:54

D'accord, je comprends mieux, merci beaucoup pour votre aide.
Dernière question, au final, il est donc inutile de calculer \frac{\delta ^2f}{\delta x\delta y}(x,y) et \frac{\delta ^2f}{\delta y\delta x}(x,y), n'est-ce pas?


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