Salut,
On a une suite u définie par et ,
Pour conjecturer une expression de en fonction de n, on utilise Excel pour calculer les premières valeurs de et de .
On donne une photo de la feuille de calcul du tableau : voir fig1
1. Quelle formule faut-il taper dans la cellule B3 pour compléter la colonne B par recopie ?
2. Compléter ce tableau et conjecturer l'expression de en fonction de .
3. Valider cette conjecture par un raisonnement par récurrence.
Pour la 1. : =2*B2 +1
Pour la 2. (voir fig2) On remarque que 1+u_n semble être géométrique de raison 2, soit si elle est géométrique elle vérifie donc : . On conjecture alors que
Pour la 3. Demontrer par récurrence :
Initialisation : On a et donc la propritété est vraie au rang n=0.
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang , . Montrons qu'elle est vraie au rang .
On a :
Conclusion :
La propriété est vrai au rang et est héréditaire, ainsi .
Est-ce bon ?
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