Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Reprise d'études-Ter
Partager :

Exo

Posté par
Slpok
16-09-18 à 15:26

Salut,

On a une suite u définie par u_0=0 et \forall n \in \mathbb{N} , u_{n+1}=2u_n+1.
Pour conjecturer une expression de u_nen fonction de n, on utilise Excel pour calculer les premières valeurs de u_n et de 1+u_n.

On donne une photo de la feuille de calcul du tableau : voir fig1

1. Quelle formule faut-il taper dans la cellule B3 pour compléter la colonne B par recopie ?
2. Compléter ce tableau et conjecturer l'expression de u_n en fonction de n.
3. Valider cette conjecture par un raisonnement par récurrence.

Pour la 1. : =2*B2 +1

Pour la 2. (voir fig2) On remarque que 1+u_n semble être géométrique de raison 2, soit si elle est géométrique elle vérifie donc : 1+u_n = 1\times2^n. On conjecture alors que u_n=1\times2^n -1

Pour la 3. Demontrer par récurrence :

Initialisation : On a u_0=0 et 1*2^0-1=0 donc la propritété est vraie au rang n=0.

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang k, k\in\mathbb{N}. Montrons qu'elle est vraie au rang k+1.

On a :
u_{k+1}=2u_k+1 \\ u_{k+1}=2\times({2^k-1})+1 \\ u_{k+1}=2\times2^k-2-1\\ u_{k+1}=2^{k+1}-3\\

Conclusion :
La propriété est vrai au rang n=0 et est héréditaire, ainsi u_n=2^n-1.

Est-ce bon ?

Exo

Exo

Posté par
Slpok
re : Exo 16-09-18 à 16:41

Du coup c'est bon j'ai trouvé mon erreur de signe dans ma récurrence. Merci

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exo 17-09-18 à 11:44

on est bien content



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !