Propriété héréditaire :

davidk2, ce que tu viens d'écrire est faux.

possible

iona, tu as essayé par récurrence ?

>iona

pour k=1 et k=2 : ca marche ?

_{davidk2 ne parvient pas à perdre son côté provocateur...}



Philoux

nan mé le truc c ke jecompren rien ac les "!" , g dumal a men servir et du coup jttrouv des truc ki vel rien dire...

Bonjour

Montrer que tou n> ou = à 1 :
"somme(sigma)"k*k!=(n+1)!-1

pour k=1
1*1!=1 et (1+1)!-1=2-1=1 ça marche

pour k=2
1*1!+2*2!=1+2*2=5 et (1+2)!-1=3!-1=6-1=5 ça marche

posons S(n)= Somme(1*1!+2*2!+...+n*n!)=(n+1)!-1 comme hypothèse HR et examinons S(n+1)

S(n+1)=S(n)+(n+1)*(n+1)!

or S(n)= (n+1)!-1 selon HR

donc

S(n+1)=(n+1)! - 1 +(n+1)*(n+1)! = (n+1)! +(n+1)*(n+1)! -1 = (n+1)!(1 +(n+1) ) -1

or (n+1)!(n+2) = (n+2)!

donc

S(n+1) = (n+2)! - 1 = ( (n+1) + 1 )! -1

S(n+1) est l'expression de S(n) dans laquelle on a remplacé n par n+1

Cette hypothèse HR est donc vérifiée.

Philoux

donc S(n+1)

iona

évites le sms

Philoux

Supposons que  1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 1 soit vrai pour une certaine valeur de n, alors on a:

1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 1   (1)

1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n!  + (n+1).(n+1)! = (n+1)! - 1 + (n+1).(n+1)!
1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n!  + (n+1).(n+1)! = (n+1)! (1 + n + 1) - 1
1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n!  + (n+1).(n+1)! = (n+1)! (n + 2) - 1
1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n!  + (n+1).(n+1)! = (n+2)! - 1
1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n!  + (n+1).(n+1)! = ((n+1)+1)! - 1

Et ceci est l'expression (1) dans laquelle on a remplacé n par n+1.

Donc si est vrai au rang n, c'est enore vrai au rang n+1.

On vérifie que est vrai pour n = 1. --> C'est vrai.

Comme est vrai pour n = 1, c'est vrai aussi pour n = 2.
Comme est vrai pour n = 2, c'est vrai aussi pour n = 3.
Et ainsi de proche en proche, est vrai pour tout n de N.
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Sauf distraction.  

_{@philoux : provocateur moi, laisse moi rire}