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exo ave th. du rang
bonjour!
j'aurais besoin d'aide pour un DM de maths
si vous pouvez m'aidez svp?
soit E et F 2 Kev de dim finies.
u 
L(E,F) et vL(E,F)
on doit montrer que: dimKer(u+v)
dim(Keru
Kerv)+dim(ImuImv)
pour cela on a une aide: on pourra appliquer le théorème du rang à
p:Ker(u+v)->F
x->u(x)
mais bon je n'y arrive pas quand même! quelqu'un aurait-il une idée?
Salut
On a par le théorème du rang
dim(Ker(p))+dim(Im(p))=dim(Ker(u+v))
Or si x est dans Ker p, cela veut dire que u(x)=0
Or x est dans Ker(u+v) donc u(x)+v(x)=v(x)=0
donc x est dans Ker(v)
Ainsi
Donc
Il suffit donc de montrer que
Il suffi de montrer que Imp est incluse dans
Il est clair que si y est dans Imp, il existe x dans Ker(u+v) tel que y=u(x)
De plus u(x)+v(x)=0 donc v(x)=-u(x)
Ainsi v(-x)=u(x)=y donc y est dans l'image de v.
y est donc dans l'intersection voulue.
PAr le fait de l'inclusion de Imp dans on a l'inégalité des dimensions.
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