mais c'est le b) en écrivant v(MA=v(MC)+(CA) et v(MB)=v(MC) + v(CB) nous c''est le a) qu'on fait c'est pour ça que je n'ai pas encore utilisé cette relation

les équations que tu as écrites et la facilité de la question 2a) m'ont réellement fait penser que tu avais répondu à la 3a) et que tu attaquais la 3b)

Bon alors on se calme et on résume :

Résumé des courses:
- A et B distincts
- G barycentre de (A,2),(B,-1)
-> donc A milieu de [GB]
- (T) ensemble des points N vérifiant NB/NA=2
-> (T) cercle de centre G, de rayon 2 * AB
- C point de (T)
- (D) ensemble des points M vérifiant 2MA²-MB²-MC²=0

Question posée : vérifier que C appartient à D
Pour le prouver, on doit montrer que C vérifie l'équation qui définit (D)
calculons alors 2CA²-CB²-CC² et montrons que cette quantité est bien égale à 0

déjà CC²=0 (la distance d'un point à lui-même est nulle)
Il reste à évaluer 2CA²-CB²
Tout point N de (T) vérifie (c'est sa définition) NB/NA=2, c'est à dire NB=NA2, c'est à dire NB²=2NA², c'est à dire 2NA²-NB²=0
L'énoncé dit que C est sur (T), donc il vérifie 2CA²-CB²=0

donc nous avons bien 2CA²-CB²-CC²=0

donc C est aussi sur (D)

voilà, cela me paraissait acquis pour toi.

On passe alors au 3b) ?

oui merci vaiment alors maintenant je dois utiliser
v(MA)=v(MC)+v(CA) et v(MB)= v(MC)+v(CB)
et j'utilise aussi -2v(MG).v(GC)+2GA²-GB²-GC²?

je répète ce que je t'ai dit ici : exo barycentre
non, tu dois laisser tomber le calcul actuel et relire ton énoncé : il te demande de suivre un cheminement différent.
Ce n'est pas que le tien est une impasse, il peut mener à la solution. On y reviendra si tu veux. Mais là, il est toujours préférable de suivre d'abord l'énoncé.

donc ton énoncé disait :
En écrivant v(MA) = v(MC)+v(CA) et v(MB)=v(MC)+v(CB),
montrer que pour tout point M de (D),on a v(MC).v(CG)=0

je répète : avec G, on aurait aussi pu arriver à ce résultat. Simplement, lorsque l'énoncé donne une indication, il est préférable de la suivre.

Oui d'accord merci mais j'ai un pb
2MA²-MB²-MC²=0
2(v(MC)+v(CA))²-(v(MC)+v(CB))²-(v(MG)+v(GC)²
ou bien
2(v(MC)+v(CA)²-(v(MC)+v(CB))²-(v(MC)+v(CG)² ?

ni l'un ni l'autre. la seconde est d'ailleurs fausse.
pourquoi veux tu absolument introduire G ? l'énoncé te donne une autre direction à suivre.

alors c'est :
2(v(MC)+v(CA))²-(v(MC)+v(CB))²-(v(MC)+v(CC))²?

si tu veux, oui
mais tu sais, tu peux garder v(MC) tel quel, sans lui ajouter v(CC) qui est de toute façon v(0)

Mais il faut introduir G car l'énoncé nous dit qu'il faut montrer qu'on a v(MC).v(CG)=0

car sinon je trouve
2(v(MC)+v(CA))²-(v(MC)+v(CB))²- MC²=0
2MC²+4v(MC).(CA)+ 2CA²- MC²-2v(MC).v(CB)-CB²-MC²=0
2v(MC).(2v(CA)-v(CB))+2CA²-CB²=0

et on reconnait très naturellement
(c'est l'une des relations caractéristiques des barycentres)
et on a aussi puisque C est sur le cercle (T)





Interprétation géométrique :
le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement si ces deux vecteurs sont orthogonaux.

donc soit M=C, soit la droite (MC) est perpendiculaire à la droite (CG)

l'ensemble (D) est la tangente en C au cercle (T)

ah okok merci beaucoup vraiment pour toute votre  aide et le temps enorme que vous m'avez donné