Inscription / Connexion Nouveau Sujet
exo barycentre niveau 1ere S!
bonjour voila je rvise mes epreuves communes et il ya un exo sur les barycentre qui me bloque
soit ABC un triangle de coté de longeur a soit Z l'ensemble des points M du plan tels que:
norme(vecteur MA -2 vecteur MB + vecteur MC)= norme (vecteur Ma -4vecteur MB + vecteur MC)
a) prouver que le point B est un point de Z
b)demontrer que le vecteur MA-2MB+MC est independant du choix de M
c)soit G le barycentre de (A;1) (B;-4) (C;1). calculer GM et en deduire la nature de l'ensemble Z
voila merci d'avance pour m'aider a resodre ce probleme
pardon le triangle ABC est un triangle equilateral
Salut,
||MA - 2MB + MC || = || MA - 4MB + MC || est une condition nécessaire et suffisante pour qu'un point M du plan appartienne à l'ensemble Z.
Autrement dit, un point appartiendra a l'ensemble si et seulement si il vérifie l'égalité précédente.
Si M = B ,
||MA - 2MB + MC || = ||BA + BC||
|| MA - 4MB + MC || = || BA + BC ||
Donc ||MA - 2MB + MC || = || MA - 4MB + MC || pour M = B, ce qui est équivalent à dire que B€Z.
b)
ici c'est une bête relation de Chasles qu'il faut utiliser.
MA - 2MB + MC = MA - MB - MB + MC
= MA +BM + BM + MC
= BA + BC
donc indépendant de M.
c) G Barycentre A(1) B(-4) et C(1)
1-4+1 <> 0 , le barycentre existe donc.
Pour tout point M on a alors la relation suivante (d'apres le cours) : 1MA - 4MB + 1MC = (1-4+1)MG
ou : MA - 4MB + MC = -2MG
M€Z <=> || BA + BC || = ||-2MG||
<=> || BA + BC || = 2 || MG ||
Soit I le milieu de [AC], on va utiliser ce point pour décomposer BA+BC.
BI+IA + BI+IC = 2BI + IA + IC
si tu fais un schéma, tu verras que IA + IC = vecteur nul (ce qui est logique si I est le milieu de [AC] )
d'ou BA+BC = 2BI (toujours en vecteurs)
M€Z <=> ||2BI|| = 2 || MG ||
[BI] est une médiatrice de ABC (car ABC équilatéral), en particulier on voit que BIC est rectangle en I.
Il est alors possible de calculer par rapport à a, la distance ||BI|| grace au théoreme de pythagore :
BC² = BI²+IC² <=> BI² = BC² - IC²
<=> BI² = a² - (a/2)²
<=> BI² = a² - a²/4
<=> BI² = 3a²/4
<=> BI = [Racine (3) * a] / 2 puisque BI >=0
donc pour finir :
M€Z <=> 2*||BI|| = 2 || MG ||
<=> || BI ||= || MG ||
<=> (a Racine(3))/2 = MG
ainsi, Z est l'ensemble des points M qui sont a une distance constante de G (a Racine(3))/2, soit le cercle de centre G et de rayon (a Racine(3))/2.
voila 
Vérifies ces resultats au cas ou. (attention je n'ai pas toujours indiqué lorsque je parle de vecteur ou de longueurs)
Annuler
connectez vous