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exo barycentre/produit scalaire

Posté par Hiro (invité) 17-02-04 à 17:41

vla un exo sur le kel je galère:
On considère ds le plan un triangle ABC tq: AB=7;BC=4;AC=5 (unité qraphike 1cm).soit I le milieu de BC.
Soit D=bar {(A,-1);(B,1);(C,1)}
a) quelle est la nature de ABCD?justifiez
b)déterminer et construire l'ensemble F des pts M du plan tq
-MA²+MB²+MC²=-25

pr a) g trouvé ABCD est un parallélogramme ms jarrive pas à justifier
pr b) gtrouvé -MA²+MB²+MC²=-25  MD²-DA²+DB²+DC²=-25
MD²-16+33+49=-25 ms c faut. Personne n'aurait une solution svp??

Posté par
watik
re : exo barycentre/produit scalaire 17-02-04 à 19:02

bonjour permettez moi de vous répondre.

a) quelle est la nature de ABCD?justifiez ?

D étant le barycentre de (A,-1);(B,1);(C,1) donc

-DA+DB+DC=0

ssi DB+(AD+DC)=0
ssi DB+AC=0
ssi DB=-AC
ssi DB=CA

donc ABCD est un parallélogramme.

b)déterminer et construire l'ensemble F des pts M du plan tq  
-MA²+MB²+MC²=-25

MA²=(MD+DA)²=MD²+2MD.DA+DA²
MB²=(MD+DB)²=MD²+2MD.DB+DB²
MC²=(MD+DC)²=MD²+2MD.DC+DC²

-MA²+MB²+MC²=-MD²-2MD.DA-DA²+MD²+2MD.DB+DB²+MD²+2MD.DC+DC²
                         =MD²+2MD.(-DA+DB+DC)-DA²+DB²+DC²
                         = MD²-DA²+DB²+DC² ; car -DA+DB+DC=0

d'autre par DA²=(AB+AC)²=AB²+AC²+2AB.AC
DB=CA implique DB²=AC²
DC=BA implique DC²=AB²

donc -DA²+DB²+DC² =-AB²-AC²-2AB.AC +AC²+AB²
                                    = -2AB.AC

d'autre part
BC=AC-AB
donc
BC²=(AC-AB)²=AC²-2AC.AB+AB²
donc -2AB.AC=BC²-AC²-AB²=16-25-49=-58

donc -MA²+MB²+MC²=MD²-DA²+DB²+DC²
                                   = MD²-58
M appartient à F ssi -MA²+MB²+MC²=-25
                            ssi MD²-58=-25
                            ssi MD²=33
                            ssi MD=rc(33)   ; rc() désigne la racine
carré.

donc F est le cercle de centre D et de rayon rc(33).

voila je vous remercie.



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