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Exo complexe

Posté par
Dreamyy 22-09-18 à 20:10

Bonsoir,
je suis actuellement en train de faire un exo mais je bloque un peu.
Voici l'énoncé :

Soit \ 2
1. Mettre sous forme trigonométrique le complexe \huge z=\frac{1+cos(\theta)+isin(\theta) }{1-cos(\theta)-isin(\theta)}

2. En déduire z^{n} pour tout naturel n.


Je ne vois pas comment faire pour la 1 ...
J'ai écris ça :

\huge z=\frac{1+e^{i\theta }}{1-e^{i\theta }}
Mais après je ne vois pas quoi faire ...
Multiplier par le conjugué ?

Posté par
carpediemre : Exo complexe 22-09-18 à 20:13

salut

en notant u = t/2 factorise numérateur et dénominateur par exp(iu)

ou débarrasse-toi du complexe au dénominateur donc ... multiplie haut et bas par ...

Posté par
Dreamyyre : Exo complexe 22-09-18 à 20:56

Merci ^^ carpediem,
je trouve ça
\huge z=\frac{1+e^{i\theta }}{1-e^{i\theta }}
\huge z= \frac{2+2cos(\theta )}{1-2cos(\theta )+cos²(\theta )-sin²(\theta )}

Posté par
carpediemre : Exo complexe 22-09-18 à 21:08

je ne pense pas ...

ce complexe n'est surement pas réel ...

en posant u = t/2

z = \dfrac {1 + e^{it}} {1 - e^{it}} = \dfrac {e^{iu}} {e^{iu}} \dfrac {1 + e^{it}} {1 - e^{it}} ... mais peut-être bof ... faut voir ...

z = \dfrac {1 + e^{it}} {1 - e^{it}} = \dfrac {(1 + e^{it})(1 - e^{-it})} {(1 - e^{it})(1 - e^{-it})} = ...

Posté par
Dreamyyre : Exo complexe 22-09-18 à 21:18

J'arrive à :

\huge \frac{e^{it}-e^{-it}}{2-e^{-it}-e^{it}}

Posté par
Dreamyyre : Exo complexe 22-09-18 à 21:18

Mais je pense que c'est faux ...  :/

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exo complexe 22-09-18 à 21:35

Bonsoir,

Citation :
en notant u = t/2 factorise numérateur et dénominateur par exp(iu)

Avec u = t/2 , on a t = 2u .

z=\frac{1+cos(t)+isin(t) }{1-cos(t)-isin(t)} = \frac{1+e^{2iu}}{1-e^{2iu}} = \frac{e^{iu}(....+....)}{e^{iu}(....-....)}

Posté par
Dreamyyre : Exo complexe 22-09-18 à 21:53

Mercii,

j'arrive à cela :

\huge \frac{e^{iu}(2cos(u))}{e^{iu}(2isin(u))}

= \huge \frac{cos(u)}{isin(u)}

Posté par
Dreamyyre : Exo complexe 22-09-18 à 21:53

Ce n'est pas 1/i cotan(u) ?

Posté par
Dreamyyre : Exo complexe 22-09-18 à 21:54

Mais j'aurais une question : c'est quoi u dans l'histoire ^^ ?

Posté par
carpediemre : Exo complexe 22-09-18 à 22:36

carpediem @ 22-09-2018 à 21:08

jen posant u = t/2
peut-être faudrait-il lire ce qu'on écrit ...

Posté par
Razesre : Exo complexe 22-09-18 à 23:56

Bonsoir,

Dreamyy @ 22-09-2018 à 21:53

Ce n'est pas 1/i cotan(u) ?
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