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Niveau Maths sup
exo d arithmetique
Posté par paaat (invité)
salut a tous j'ai un petit probleme dans un exo
je bloque sur deux question
1)quel est le plus petit entier naturel ayant exactement 16 diviseurs dans N
c'est evidament 2^15 mais je n'arrive pas a le demontrer
2)demontrer que u est un carré parfait si et seulement si sont nombre de diviseur est impaire
merci de votre aide
Pour le 1 si je suis ton raisonnement le plus petit entier naturel ayant exactement 4 diviseurs serait 8=23 et les diviseurs seraient 1,2,4,8
or 6 a pour diviseurs 1,2,3,6 et est plus petit que 8 
Bonsoir paaat
2) si u est égal à 1, l'équivalence est vérifiée.
sinon, considère la décomposition de u en facteur premiers.
On a donc .
Le nombre n de diviseurs de u est donnée par la formule .
Ainsi, n est impair si et seulement tous ses diviseurs sont impairs, doncsi et seulement si pour tout i est pair, donc si et seulement si pour tou i,
, donc si et seulement si
, donc si et seulement si u est carré parfait.
Kaiser
je pense plutôt que c'est le nombre n=120
ses diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 30, 40, 60, 120
Sauf erreur ...
je te remercie Youpi ! 
En ce qui concerne le fait que le nombre recherché vaut 120, j'ai fait mes petits calculs et je dois dire que je suis d'accord avec toi.
Kaiser
Oui je pense que 120 est la bonne réponse mais je ne l'ai pas vraiment démontré, c'est plutôt intuitif.
En fait, pour être sur à 100%, il faut repasser par la décomposition en facteurs premiers.
Soit n tels que vérifiant
.
Il faut ensuite faire une étude sur la manière de décomposer 16 en le produits de r facteurs au moins égaux à 2.
On s'aperçoit que r ne peut prendre ses valeurs que dans l'ensemble {1,2,3,4}.
En faisant une étude des 4 cas, et en supposant que , on a nécéssairement (si l'on désire n minimal)
qui est égal eu ième nombre premier et
, on retrouve le fait que 120 est le nombre recherché.
Kaiser