bonjour Guillaume

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le fait que la dérivée seconde tend à se stabiliser vers un nombre interdit le parcours en 'dents de scie' dans la courbe principale
celle-ci doit tendre vers l'horizontale et les dérivées première et seconde tendent vers zéro

bonjour plumemeteore

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Oui, tu as interprété ce qui se passe. Maintenant, il reste à le démontrer

Merci en tout cas de ta participation

Bonsoir tout le monde!

Si L était >0 , on aurait f">L/2 au-dela d'un certain c, donc f"-L/2>0 donc f'-Lx/2 croissante donc supérieure à la valeur k qu'elle prend en c, donc f'-Lx/2-k>0 donc f-Lx^2/4-kx croissante donc f>Lx^2/4+kx+k', qui tend vers l'infini quand x tend vers +l'infini. D'où l'absurdité.
Même chose si L<0.

Bonsoir rogerd

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Impeccable, c'est ce que j'ai montré, en ayant recours à Taylor avec reste intégral



La 2) ?

Salut, je suis de passage, mais juste pour savoir,

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si on avais la limite en plus l'infini de f', ca tendrais aussi vers 0, non?

salut simon

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Oui, oui, satan vers 0. Question 2

Bonsoir gui_tou!

Je vais essayer de traiter le 2) avec cette même méthode, que j'aime bien.
Tu noteras déjà qu'elle ne nécessite pas que f" soit continue.

@rogerd

Toutafé !

@simon

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Essaie ! Non je pense pas que ce soit la même méthode...

Pour le 2), je n'y arrive pas avec ma méthode.
Par contre, j'y arrive avec Taylor Lagrange appliqué entre x et x+1:
f(x+1)=f(x)+f'(x)+f"(c)/2 avec c entre x et x+1 donc
|f'(x)|<=|f(x+1)-f(x)|+|f"(c)|/2.
En prenant x suffisamment grand, |f(x+1)-f(x)| et |f"(c)| sont aussi petits qu'on veut.
J'en conclus, avant de m'endormir complètement , que f'(x) tend vers 0 quand x tend vers +l'infini.

....

C'est la méthode que mon prof a sortie, mais la khôlle était déjà finie.

Bravo rogerd !

Si tu avais déjà fait le 1), c'est déjà pas mal!
C'est un exercice difficile!

@rogerd

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Bon j'ai juste eu l'idée d'utiliser Taylor, déjà pour la première je voulais montrer directement que L=0, sans passer par l'absurde, donc le prof m'a suggéré un raisonnement par l'absurde.

Voici ce dont je me souviens avoir fait.

Soit . Alors .

Là commence le raisonnement par l'absurde.
On suppose . Donc  .

En particulier avec il vient

Ainsi, I s'écrit aussi :    et donc :


Finalement,

Ensuite l'idée est de dire que est une fonction polynomiale de degré inférieur à 2 [ceci est encore flou pour moi] et par passage à la limite, d'où la contradiction.

L'essentiel y est!