Niveau exercices

Exo de kholles sur l'arithmétiques

Posté par
simon92 31-01-09 à 17:59

Bonjour,

voici deux exos que j'ai eu il y a deux semaines en kholles (thème: arithmétique) accéssible dès la terminale je pense.

1) Combien y'a t-il de couple solution (a,b) dans $\mathbb{N}^2$ tels que
$pgcd(a,b)=5!$
$ppcm(a,b)=50!$

2) Soit $(a_n)$ une suite a valeur dans $\mathbb{N}$ définie pas :

- $a_0$ n'est pas divisible par $5$
- $a_{n+1}=a_n+u(a_n)$
ou $u(n)$ est le chiffre des unités de l'entier $n$ .
Montrer que la suite $(a_n)$ contient une infinité de puissance de 2.

Bonne chance.

Posté par re : Exo de kholles sur l'arithmétiques 31-01-09 à 23:52

bonsoir Simon
1) le produit des paires de nombres est 50! * 5!
en les divisant par 5!, ils deviennent des nombres premiers entre eux dont le produit est 50! / 5! : le produit des nombres de 6! à 50!
ce produit contient les facteurs premiers 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
si le facteur 2 est assigné à un des nombres, les autres facteurs se trouveront dans l'un ou l'autre des deux nombres
il y a 2¹⁴ = 16384 solutions

2) si le début est impair, le premier de la suite est pair
dans un cycle de quatre termes, on ajoute 2+4+8+6 ou 4+8+6+2 ou 8+6+2+4 ou 6+2+4+8 donc 20
une puissance de 2 12, 4, 8 ou 16 modulo 20
si le premier de la suite a une de ces congruences modulo 20, en lui ajoutant 20 un nombre suffisamment grand de fois, on arrivera aux puissances successives de 2 se terminant par le même chiffre
sinon, l'un des trois suivant aura une de ces congruences et on pourra ajouter des nombres 20 à partir de lui
preuve :
si la congruence de départ est 2, la suivante est 4
si elle est 14, les suivantes sont 18, 6 et 12
si elle est 6, la suivante est 12
si elle est 18, les suivantes sont 18, 26 et 32

Posté par re : Exo de kholles sur l'arithmétiques 01-02-09 à 09:35

salut plumemeteore,
pour la 1 le raisonnement est bon, mais la réponse me semble fausse, je n'ai pas trouvé exactement ça, même si ça ressemble beaucoup.

Pour la 2, ce que j'ai fait ressemble beaucoup, mais évidemment le kholleur a demandé beaucoup plus de précision que ce que je te demanderai, comme le résultat était donné, je devais tout prouvé. Mais je vois bien que l'idée y est.

J'espère que ces exos ton plus, je trouve que ce kholleur donne de très bon exos, perso.

Posté par re : Exo de kholles sur l'arithmétiques 01-02-09 à 11:29

bonjour,