On peut chercher la fonction sous la forme d'une fonction affine
:
f(x)=ax+b

On a :
f(x)f(y)-f(xy)=(ax+b)(ay+b)-(axy+b)
=a²xy+ab(x+y)+b²-b-axy
On en déduit que
a²-a=0 donc a=1 ou a=0
b²-b=0 donc b=1 ou b=0
ab=1.
Donc a et b ne peuvent pas être égaux à 0.
Donc a=1 et b=1.
La fonction f(x)=x+1 est donc solution de ton exercice.

@+

Le moral, il n'y a que cela.

f(x)f(y)-f(xy)=x+y

supposons x = y = 0 ->
f(0).f(0) - f(0) = 0
f(0) .(f(0) - 1 ) = 0
et donc 2 possibilités : f(0) = 0 et f(0) = 1

Supposons y = 0
->
f(0).f(x) - f(0) = x

si f(0) = 0 -> x = 0
La fonction nulle convient: f(x) = 0

Si f(0) = 1, il vient
f(x) - 1 = x
f(x) = x + 1  
----
Il y a 2 solutions:
soit f(x) = 0
soit f(x) = x + 1
-----
Sauf distraction.    

Attention, la fonction nulle (f=0) n'est pas solution de cette
équation fonctionnelle.
En effet, pour tout x et y, on n'a pas :
x+y=0 !!!

@+

C'est tout à fait vrai.  

pourquoi on ne peux pas avoir x+y=0

Parce que l'égalité doit être vraie pour tout x et y. Donc en
particulier si x=1 et y=3 et 1+3=4 différent de 0.
@+