Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Exo de stat/proba

Posté par
termina123 29-04-23 à 00:09

Bonsoir
Je bloque sur la question 1

On s'intéresse à la durée de vie après administration d'un traitement. Une étude a été faite sur $n$ patients
qui ont été suivis $c$ = 5 ans. Pour le patient $i$ , $i$ = 1, . . . , $n$ , on note $T_i$ sa durée de vie et $\delta_i$ son indicatrice
de censure, autrement dit $\delta_i = 1_{T_i \leq c}$ . Les observations sont donc les couples (𝑈𝑖, 𝛿𝑖) :
(𝑈𝑖, 𝛿𝑖) = (min(𝑇𝑖, 𝑐), 𝛿𝑖) =(𝑇𝑖, 1) si 𝑇𝑖 ≤ 𝑐 ou (𝑐, 0) si 𝑇𝑖 ≥ 𝑐.
On suppose que 𝑇𝑖 ∼ $\mathcal{E}$ (𝜃), et on note $f_\theta$ et $F_\theta$ respectivement la densité et la fonction de répartition de 𝑇𝑖.
1. Montrer que la vraisemblance de l'échantillon vérifie :
𝐿(𝑈1, 𝛿1, . . . ,𝑈𝑛, 𝛿𝑛; 𝜃) = $\prod_{i=1}^{n}{f_{\theta}(U_i)^{\delta_i}(1-F_{\theta}(c))^{1-\delta_i}}$ (On fait un peu l'amalgame entre les variables aléatoires et les observations)
2. Donner l'expression du maximum de vraisemblance. Pour simplifier l'écriture, on pourra supposer que les𝑟 premières observations sont non censurées, et que les 𝑛−𝑟 suivantes sont censurées.

Ce que j'ai fait pour la q1 :
Puisque nos couples d'observations sont iid la vraisemblance vaut 𝐿(𝑈1, 𝛿1, . . . ,𝑈𝑛, 𝛿𝑛; 𝜃)= $\prod_{i=1}^{n}{g(U_i,\delta_i)}$ avec g la loi jointe des $(U_i,\delta_i)$

Je cherche la loi jointe des $(U_i,\delta_i)$
Si $\delta_i=1$ , alors $U_i=T_i$ et donc la loi de $U_i$ conditionnellement à $\delta_i=1$ est une $\mathcal{E}$ (𝜃).
Si $\delta_i=0$ , alors $U_i=c$ et la je ne sais pas quoi dire car la loi $U_i|\delta_i =0$ ne m'a l'air ni discrete ni continue ...