Exo défi : Application d'un cercle sur la droite réelle

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Exo défi : Application d'un cercle sur la droite réelle
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Nightmare  08-08-07 à 20:20
Bonsoir à tous 

Un petit défi pour les futurs taupes de sup.

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Soit f une application continue d'un cercle sur la droite réelle.

Montrer qu'il existe deux points diamétralement opposés ayant même image par f.

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A vous de jouer 

jord
 Posté par 
Ju007re : Exo défi : Application d'un cercle sur la droite réelle  08-08-07 à 20:59
Bonsoir,

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On fabrique tout d'abord un isomorphisme continue h entre le cercle et le segment [0,1]

On prend pour cela l'angle formé par une droite quelconque passant par le centre du cercle et le point du cercle en question, divisé par 2 Pi. (c'est clair? )

g = f o h est donc une application continue du segment [0,1] dans |R avec g(0)=g(1)

On veut trouver en fait un point x de [0,1/2] tel que g(x)=g(x+1/2).

Or la fonction u :x -> g(x+1/2)- g(x) est continue sur [0,1/2]

et u(0)= g(1/2) - g(0) et u(1/2) = g(1) - g(1/2) = g(0) - g(1/2),

u(0) et u(1/2) sont de signes contraires,

donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe a de [0,1/2] tel que u(a) = 0 soit g(a+1/2)=g(a)!

Voilà, pas mal comme exo.... 
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Nightmarere : Exo défi : Application d'un cercle sur la droite réelle  08-08-07 à 21:02
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Ta démonstration semble juste mais je n'ai pas réellement compris ta construction de h...
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infophilere : Exo défi : Application d'un cercle sur la droite réelle  08-08-07 à 21:03
Salut 

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C'est pas une conséquence du théorème de Borsuk-Ulam ?
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1 Schumi 1re : Exo défi : Application d'un cercle sur la droite réelle  08-08-07 à 21:05
Bonsoir,

Kévin>>

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On tire le bazouka? 

 Posté par 
Nightmarere : Exo défi : Application d'un cercle sur la droite réelle  08-08-07 à 21:09
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On ne s'aide pas d'internet, ce n'est pas drôle 
 Posté par 
infophilere : Exo défi : Application d'un cercle sur la droite réelle  08-08-07 à 21:11
Jord >

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Je ne connaissais pas le nom du théorème mais l'anecdote sur deux endroits sur Terre diamétralement opposés où il y a même température et pression, et en recherchant où j'avais déjà vu ça je suis tombé là dessus 
 Posté par 
Nightmarere : Exo défi : Application d'un cercle sur la droite réelle  08-08-07 à 21:13
Kevin >

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En effet c'est même plus qu'une conséquence de ce théorème, c'est le théorème lui même appliqué en dimension 2, le but de l'exercice est de le démontré dans ce cas, sans passer par la topologie brutale 

 Posté par 
infophilere : Exo défi : Application d'un cercle sur la droite réelle  08-08-07 à 21:18
Jord >

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On doit pouvoir le faire en passant par le TVI non ? Parce que j'y connais rien en topologie 

Un nain dix ?
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Ju007re : Exo défi : Application d'un cercle sur la droite réelle  08-08-07 à 21:20
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Je vous ai fait un petit schéma 

A gauche, la construction de h. A x correspond le point du cercle d'angle 2x. Des points remarquables indiqués par des flèches.

Ainsi x et x+1/2 sont diamétralement opposés. (Les angles seront respectivement 2x et 2x + )

A droite, la forme de g. (sur laquelle on travaille) 

J'espère que c'est clair là .
 Posté par 
Nightmarere : Exo défi : Application d'un cercle sur la droite réelle  08-08-07 à 21:21
ju007 > 
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C'est bon j'ai compris  Bravo

Kevin >  Cliquez pour afficher
Oui, le TVI est une bonne idée 
  Posté par 
infophilere : Exo défi : Application d'un cercle sur la droite réelle  08-08-07 à 21:25
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Arf j'ai pas pu m'empêcher de lire le blanqué de Ju 

De toute façon je ne voyais pas comment appliquer le TVI, joli problème