Bonjour

 Cliquez pour afficher

et .
Donc l'équation n'admet pas de solution entière dans R.

Je m'arrête là

Estelle >>

 Cliquez pour afficher

Toutes mes félicitations, Bravo!

Je savais bien que quelqu'un allait me faire ce coup-là. J'attendais de voir qui.Eh ben voilà, je suis pas déçu. Même pas étonné d'ailleurs, venant de toi.

Estelle >>

 Cliquez pour afficher

Attention!
L'équation c'est pas , mais .
Ca veut pas dire la même chose du tout.
La deuxième équation signifie que:
. Ou encore refomulé, ça signifie que .

Bonjour,

Estelle >>

 Cliquez pour afficher

Citation :
-(6x²+5x)=1
D'après Bezout, 6 et 5 existent si et seulement si x et x² sont premiers entre eux or x divise x² donc ils ne le sont pas.
Donc il n'y a pas de solution entière ?

Ton idée est bonne, mais exprimée comme tu le fais, cela prouverait aussi que 3x² - 2x = 1 n'a pas de solution entière...

bonjour Schumi

 Cliquez pour afficher

les zéros de l'expression sont -1/3 et -1/2
l'expression égale : 6(x + 1/3)(x + 1/2)
en distribuant 6 en 3 pour le premier facteur et en 2 pour le deuxième facteur : (3x+1)(2x+1)
si N n'est pas divisible par 2, x = (N-1)/2 est une solution
si N n'est pas divisible par 3, x = (N-1)/3 ou x = (2N-1)/3 est une solution selon que N = 1 ou 2 modulo 3
sinon, décomposons N en un produit de deux nombres : b rassemblant les facteurs 2 et t tous les autres facteurs; t et b sont premiers entre eux
pour tout x de la forme (t-1)/2 + kt : 2x+1 est divisible par t
il faut donc établir qu'il existe un k tel que (3t-3)/2 + 3kt + 1 soit divisible par b
pour k allant de 0 à b-1, tous les 3*x ont des modulos différents par rapport à b
supposons en effet qu'il y ait deux modulos égaux, avec k = u et k = v
la différence des nombres 3ut - 3vt serait divisible par b; or 3t n'ayant aucun facteur commun avec b, u-v devrait être divisible par b, ce qui est impossible puisque u-b < b
il y a donc b modulos différents et forcément un modulo b-1; avec le k qui le produit, x = (t-1)/2 + kt et 3x+1 est divisible par b
(2x+1)(3x+1) est alors divisible par t*b = n

Ayoub >

 Cliquez pour afficher

soit n naturel non nul.
Il existe deux entiers naturels k et m tels que :
.

Comme , il existe un entier tel que .

Pour tout x relatif , .
De même donc il existe tel que .
On a alors pour tout x relatif :
.
D'autre part, donc d'après Bezout il existe un couple (u,v) d'entiers relatifs tels que :

On a ainsi :
.
D'où en notant :

Soit

Et donc :


Et d'après le théorème chinois, le système admet au moins une solution car

C'est vrai que cet exo me disait quelque chose, je viens juste de me rappeler en lisant ton message complet que je l'avais déjà posté. (Encore heureux que j'en connaisse la solution alors )

Night'

 Cliquez pour afficher

Je ne peux donc que confimer ce que tu as fais.

Frenicle >>

 Cliquez pour afficher

Merci pour cette précision
Comment dois-je l'exprimer alors ?

bonjour
avez-vous lu ma solution ?

Pour les dex premières partie de l démo, je comprends bie ce que tu fais et c'est bon.
Mais après, je vois pas trop où tu veux en venir.

bonjour Schumi
l'expression peut s'écrire (2x+1)(3x+1)
quand N est divisible par 6, il peut s'exprimer par b*t; b étant le produit de tous ses facteurs 2 et t le produit de ses autres facteurs (par exemple, pour 360, b = 8 et t = 45)
j'ai démontré qu'il existe x tel que (2x+1) soit divisible par t et que (3x+1) soit divisible par b (autrement dit que 3x = b-1 modulo b); donc que (2x+1)*(3x+1) soit divisible par t*b = N

Dans ce cas, c'est bon.

Un up pour mon Kévin préféré.

bonjour

 Cliquez pour afficher

pour n non divisible par 2 ni par 3
soit 6x²+5x+1 = kn
6x²+5x+(1-kn) = 0
le discriminant est 25-24+24kn = 24kn+1, carré de r
24kn est (r+1)(r-1)
en outre pour que la solution de l'équation soit entière, r doit 5 ou 7 modulo 12
24kn est de la forme (12a+6)(12a+4) ou (12a+6)(12a+8)
kn est de la forme (2a+1)(3a+1) ou (2a+1)(3a+2)
si n n'est pas divisible par 2, il suffit que a soit (n-1)/2
si n n'est pas divisible par 3, il suffit que a soit (n-1)/3 ou (n-2)/3
si n est divisible par 6, (2a+1) est divisible par la plus grande puissance de 3 contenue dans n, soit t; 2a+1 = dt; 2a = dt-1; a = (dt-1)/2; d doit être impair; d = 2e+1; a = (2et+t-1)/2 = et + (t-1)/2; soit t' = (t-1)/2; a = t'+et
3a+1 = 3t'+3et+1
3a+1 couvre une progression arithmétique dont la raison 3t est un nombre premier avec n/t; parmi n/t termes consécutifs, il y en a un qui est divisible par n/t
on peut en dire de même de 3a+2 = 3t'+3et+2
donc il existe des a tel que 2a+1 soit divisible par t et qu'en même temps 3a+1 ou 3a+2 soit divisible par n/t; donc pour que (2a+1)(3a+1) ou (2a+1)(3a+2) soit divisible par n et donc puisse prétendre à la forme kn
pour n divisible par 6, je me suis servi de mes propres indications antérieures

Bonjour,

ma solution en bas de ce topic : Exo Khôlle arithmétique

Ah oui blang, non c'est pas le problème. Personne n'oserai remettre en cause ta soluce (non mais quelle idée! ). C'est juste que ce cher Kéké recherchait les topics où cette question avait déjà été posée.

Je m'étonne que cette démo ne t'ai pas donné une médaille Fields. (L'âge peut être... ).

_{Je plaisantais hein encore une fois.}

Merci bien

Et bon courage blang