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Exo défi : arithmétique *

Posté par
blang 21-04-08 à 14:58

Bonjour,

Je me permets de sauver de la noyade un exercice apparu ici : Défi : petite question d'arithmétique...

Existe-t-il un polynôme 3$ P \in \mathbb{Z}[X] de degré >0 tel que la suite 3$ \left( P(3^n) \, \text{mod} \, n \right) _{n \in \mathbb{N}} soit bornée ?

Posté par
blangre : Exo défi : arithmétique * 25-04-08 à 21:24



Personne n'est tenté par cette devinette ?

Posté par
simon92re : Exo défi : arithmétique * 26-04-08 à 00:29

Bonjour blang
Très interessant ton exo, j'hesite juste entre deux reponses:
la première:

 Cliquez pour afficher

la deuxième:  
 Cliquez pour afficher



a quand la prochaine devinette

Posté par
blangre : Exo défi : arithmétique * 26-04-08 à 20:56

@Simon :

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Posté par
1 Schumi 1re : Exo défi : arithmétique * 27-04-08 à 09:04

Avec un nain dix on serait déjà beaucoup plus tenté...

Posté par
mikayaoure : Exo défi : arithmétique * 27-04-08 à 09:08

simon

il pouvait y avoir , aussi, une autre réponse :

 Cliquez pour afficher

Bonjour à tous

juste pour le up !

Posté par
simon92re : Exo défi : arithmétique * 27-04-08 à 09:30

salut mika,

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Posté par
blangre : Exo défi : arithmétique * 27-04-08 à 11:30

Alors un cht'i indice...

 Cliquez pour afficher

Posté par
blangre : Exo défi : arithmétique * 08-05-08 à 09:23



Je laisse encore quelques jours à d'éventuels amateurs avant que je poste ma soluce

Posté par
1 Schumi 1re : Exo défi : arithmétique * 10-05-08 à 14:47

La correction! La correction! La correction!

Posté par
blangre : Exo défi : arithmétique * 12-05-08 à 15:56

Voilà ma soluce. Rien de bien terrible, hein

Précision : lorsque  3$ n \in \mathbb{N}^*  et  3$ M \in \mathbb{Z} ,  3$ M \, \text{mod} \, n  désigne l'unique entier  3$ r \in [0;n[  tel que  r \equiv M \, [n].

Soit N un entier naturel quelconque.  

On peut trouver  3$ m \in \mathbb{N}^*  et un entier premier q tels que  3$ q>P(3^m)>N.

D'après le cht'i théorème de Fermat,  3$ P(3^{mq}) \equiv P(3^m) \, [q]  

d'où :  3$ P(3^{mq}) \, \text{mod} \, mq \geq P(3^{mq}) \, \text{mod} \, q = P(3^m) > N.  

Pour tout  3$ N \in \mathbb{N} , il existe donc 3$ n (=mq)\in \mathbb{N}^* tel que  3$ P(3^n) \, \text{mod} \, n > N.  

Posté par
blangre : Exo défi : arithmétique * 12-05-08 à 16:20

Mon raisonnement est bien sûr à adapter lorsque le coefficient dominant de P est négatif.

Posté par
1 Schumi 1re : Exo défi : arithmétique * 12-05-08 à 17:09

Merci blang.


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