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Même noyau?

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Démo?

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Décidément, aujourd'hui je ne dis que des bêtises. Même rang!

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nécessaire mais pas suffisant

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De pire en pire... C'est bien même noyau!

Sens direct. u(x)=0 v(x)=0 et on a u=g^-1ov, d'où l'inclusion dans l'autre sens.

Réciproque. On prend une base du noyau commun et on la complète par r vecteurs e₁,...e_r. Alors u(e₁),...u(e_r)) est une base de Im u et v(e₁),...,v(e_r) est une base de Im v. Soient g et h définies par l'identité sur Ker(u) et respectivement par g(e_i)=u(e_i) et h(e_i)=v(e_i). Ce sont des automorphismes. On a hog^-1ou=v

Qu'est-ce que je suis rouillée...

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Ils ne sont pas définis sur E tout entier là tes automorphismes, Ker(u) et Im(u) ne sont pas supplémentaires.

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Non, je les ai définis à partir d'une base complétée du noyau la même pour g et h. Donc ils sont au moins bien définis. j'en ai pris deux justement pour tenir compte du fait que les images et les noyaux ne sont pas supplémentaires. En revanche, je suis moins sure que ce sont des isomorphismes...

On a besoin en plus de quelque chose comme dim (Im u Ker u)=dim(Im v Ker v)?

Là je vais m'arrêter, je fais n'importe quoi!

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Non pas besoin

Essaye justement d'introduire un supplémentaire du noyau

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D'abord, si u1,..,un et v1,..,vn sont les images d'une base par u et v, il faut (et suffit) que g(u1)=v1...g(un)=vn.
Comme on impose g automorphisme, il est nécessaire que les deux familles u1,..,un et v1,..,vn soient de même rang, donc que u et v soient de même rang.

Je cherche à prouver la réciproque...

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Formons une base de E en complétant une base xk+1,..,xn du noyau de u par une base x1,..,xk de l'un quelconque de ses supplémentaires. La famille u1,..uk est libre.
g conviendra si et seulement si g(u1)=v1...g(uk)=vk.
Cela nécessite que v1,..,vk soit libre, ce qui n'est pas sûr, même si v est de rang k.
Ma condition nécessaire n'est donc pas suffisante.
Il me faut tout reprendre.
En fait, je ne m'étais pas aperçu qu'il faut aussi que le noyau de u soit inclus dans le noyau de v. Compte tenu de l'égalité des rangs il doit y avoir égalité des noyaux.
Alors la famille v1,..,vk est libre et on peut trouver g automorphisme.
Quel brouillon! Mille excuses!
  

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Effectivement la CNS est l'égalité des noyaux! J'avais fait aussi l'erreur du rang et était tombé sur la même impasse que toi, je me sens moins seul

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Déjà, on a clairement l'égalité des noyaux comme condition nécesaires. Et donc égalité des rangs. Je cherche si elle est nécessaire (ou pas).