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f(x)=x^5+x-1 => f'(x)=5x^2+1>0

on a f continue est strictement croissante sur R donc: f est une bijection de R à f(R)=R

Pour résoudre l'équation f(x)=f^-1(x) il suffit de résoudre f(x)=x

On peut utiliser le TVI pour montrer l'existence et l'unicité de la solution puis on résout: x^5+x-1=x => x^5=1 => x=1

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Comment justifies-tu que pour résoudre f(x)=f^-1(x) il faut et il suffit de résoudre f(x)=x?

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résoudre l'équation f(x)=f^-1(x) ça veut dire trouver l'intersection des deux courbes représentatives de cette fonctions. Or ces deux fonctions ne se rencontrent que sur la droite y=x

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Et comment prouves-tu qu'elles se rencontrent que sur y=x ?

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parce y=x est l'axe de symétrie des deux courbes..(une propriété des fonctions réciproques )

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Et ? J'attends une réponse rigoureuse

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Donc ce sont des points fixes de cet axe

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Ce que j'attends que tu démontres, c'est que l'équation f(x)=f-1(x) équivaut à f(x)=x

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ben j'ai donnée les arguments que je sais... sinon on peut composer par f ou bien f^-1

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Oui mais ce sont des arguments qui découlent de l'évidence et qui ne constituent pas une démonstration

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f'(x)=5x^4+1>0 donc f bijective (strictement croissante).

f(x)=f^{-1} implique f(f(x))=x

Supposons qu'il existe une solution x telle que f(x)>x. Alors, comme f croissante, f(f(x))>f(x)>x ce qui serait une contradiction.

De façon analogue, aucune solution x telle que f(x)<x ne peut exister.

Ainsi, nous devons avoir f(x)=x soit x=1.

Cette solution vérifie effectivement l'équation.

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L'argument de l'axe de symmétrie n'est pas dénué de rigueur si?

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c'est la justification que j'attendais. Celle avec l'axe de symétrie n'est pas dénué de rigueur mais repose sur l'observation, il semble évidement que les courbes ne peuvent se croiser que sur y=x vu qu'elles sont symétriques par rapport à cet axe, mais la démonstration est celle que tu as donnée

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Pour la bijectivité, on dérive, ce qui nous donne f'(x)=5x^4+1 strictement positif sur R donc f est strictement croissante sur R. De plus vu qu'elle tend vers +inf en +inf et vers -inf en -inf et qu'elle est continue, alors d'après le TVI elle est bijective.

Ensuite, on a f(x)=f-1(x) si et seulement si f(f(x))=x
f(f(x))=(x^5+x-1)^5+x^5+x-1-1
On a ainsi f(f(x))=x à condition que (x^5+x-1)^5+x^5=2
En dérivant la fonction g définie par g(x)=(x^5+x-1)^5+x^5 on obtient g'(x)=5x^4(x^5+x-1)^4+5x^4 strictement positif, donc l'équation g(x)=2 possède au maximum une solution.
On remarque que g(1)=2, donc 1 est la seule solution de f(x)=f-1(x)

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Pour montrer la bijectivité, on doit montrer que f est injective et subjective ?
Ou il y a d'autre moyen ?

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surjective pardon

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Tu peux montrer séparément l'injectivité et la surjectivité, mais il y a plus simple

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Comme ?
Tu n'as pas un site ? wiki est trop compliqué ^^

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Il suffit de repartir de la définition d'une bijection (enfin, tout dépend de ce que l'on a comme définition ^^) : une fonction est bijective si et seulement si chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède un unique antécédent.

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Polynôme de degré impair --> centre de symétrie en O(0;0) --> un unique antécédant pour chaque élément de l'arrivé --> bijective ?

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Houla
Polynôme de degré impair n'implique pas de centre de symétrie en O (d'ailleurs dans ce cas on aurait f(0)=0 ce qui n'est manifestement pas le cas)
Centre de symétrie n'implique pas l'unicité ni même l'existence d'un antécédent. Par exemple g(x)=x^3-x possède O comme centre de symétrie et pourtant g(-1)=g(0)=g(1)=0, de même h(x)=x/(1+x^2) est symétrique par rapport à O, mais 10 ne possède pas d'antécédent.

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dérivée strictement positive, donc fct strictement croissante, donc injective. polynômiale donc continue, limites en + et - infini resp. égales à + et - infini, donc surjective de IR vers IR, donc bijective.
l'équation proposée revient à chercher l'intersection entre la courbe de f et sa symétrique par rapport à la droite d'équation y=x, intersection qui est nécessairement sur l'axe de symétrie, donc f(x) = x, donc x^5=1, donc x=1

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f est strictement croissante donc f est bijective, c'est assez ?

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non, si f n'est pas continue, ça ne suffit pas

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f est une fonction polynôme donc f est continue
Assez ?

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pas tout à fait, il faut encore regarder l'ensemble d'arrivée

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L'ensemble d'arrivé est IR
Qu'est ce que ca nous apporte ?

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si ça avait été par exemple ]-1;1[, f n'aurait pas été bijective, car par exemple 2 n'aurait pas eu d'antécédent

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Il faut obligatoirement que l'ensemble d'arrivé soit IR ?

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f est donnée comme fonction de IR dans IR

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Oui d'accord