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dans la représentation graphique cartésienne de l'application
si la ligne ou l'ensemble des tronçons de lignes formés par l'application ne passe jamais au-dessous la droite (y = x), le point fixe est en 1; s'il ne passe jamais au-dessus, le point fixe est en 1
si on veut éviter 0 et 1 comme point fixe, l'application doit commencer par une partie au-dessus et se terminer par une partie au-dessous; il y a donc au moins ue partie dessus qui est suivie immédiatement par une partie dessous
supposons qu'il n'y ait pas de point fixe; le dernier point de la partie dessus est supérieur de d au point m de (x = y) ayant même abscisse; le premier point de de la partie dessous est inférieur de d' au point n (de x = y) ayant même abscisse
comme m et n sont voisins, n-m < d+d' ou n-d' < m+d; l'application décroîtrait en passat de m à n, ce qui est contraire à l'hypothèse
donc les parties dessus et dessous sont séparées par au moins un point fixe, appartenant à l'application

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Oui tu rejoins l'idée de ma démo avec des bornes sup et inf. Bien joué

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J'ai lu ta démo,qui est très astucieuse. Mais je ne comprends pas bien comment tu déduis "n-d'< m+d donc l'application décroîtrait en passant de m à n". Je passe certainement à côté d'une évidence.

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Supposons qu'un n'existe pas de point fixe.
f(0) différent de 0 donc f(0)>0
et f(1) différent de 1donc f(1)<1.
La fonction f(x)-x prend donc des valeurs positives, puis négatives sur [0,1].
Supposons que ce changement de signe n'a lieu qu'une seule fois dans l'intervalle. S'il a lieu plusieurs fois , il conviendra de répéter le raisonnement au voisinage de chaque point de changement.
Soit m, la majorant de x, tel que quelque soit x<m, f(x)-x >0
Soit M<m, le minorant de x tel que quelque soit x>M, f(x)-x <0.
Si m et M différent, il existe une valeur X0, telle que m<X0<M, telle f(X₀)-X₀ =0, car ne pouvant être ni strictement positive, ni strictement négative. Ce qui contraire à l'hypothèse.
Donc m=M=X₀
Donc quelque soit x_m<X₀ on a f(x_m)-x_m>0 donc comme la fonction est croissante x_m<f(X₀).
De même quelque soit x_M>X₀ on a f(x_M)-x_M<0 donc comme la fonction est croissante x_M>f(X₀).
x_m<f(X₀)<x_M.
Par continuité de la fonction identité, en faisant tendre x_m et x_M vers X0, on déduit que f(X₀)=X₀.
L'hypothèse est à nouveau contredite.
Donc il existe bien un point fixe si f croissante sans être continue.

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Je peux avoir un indice, stp?

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On considère . est évidemment non vide (contien 0) et est bornée donc majorée. Elle admet donc une borne supérieur qui vérifie .
Or f est croissante donc puis il advient que avec . On en déduit donc que .