salut Nightmare

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a-t-on le droit de déduire ( (f(x))/g(x) )² = 1 puis dire , symboliquement, ( (f/g)(x) )² = 1 puis (f/g)² = Id soit f/g = Ig ou f/g=-Id ?

Salut,

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Comme les carrés des deux fonctions ne s'annulent jamais alors les deux fonctions ne s'annulent jamais et donc, comme elles sont continues, alors f et g sont soit strictement positives soit strictement négatives.

Maintenant, pour x1 de I, f(x1)=-/+g(x1) (là, ce sont des réels ).

Si f(x1)=g(x1) alors f et g sont de même signe. Ainsi, pour x2=/=x1 nous avons aussi f(x2)=g(x2) (f(x2)=-g(x2) serait impossible car f et g ne seraient pas de même signe)). En fait, cela serait vrai pour tout x de I. Donc dans ce cas, f=g.

Sinon, f(x1)=-g(x1). Dans ce cas f et g sont de signes contraires. Ainsi, pour x2=/=x1 nous avons aussi f(x2)=-g(x2) (f(x2)=g(x2) serait impossible car f et g seraient de même signe)). En fait, cela serait vrai pour tout x de I. Donc dans ce cas, f=-g.

Tout les cas ont été vus, f=g ou f=-g.

C'est peut-être pas très rigoureux .

Justin >

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je pense avoir compris malgrè l'abscence de rigueur C'est bon

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Non sinon ce serait trop simple

salut jord

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je pense que ça va être facile si on considère l'espace vectoriel des fonctions définie de I à R. On va se comporter avec des éléments de cet espace (qui sont des vecteurs/fonctions) comme si on se comporte avec des éléments de EV (R,+,.) donc on déduit naturellement que: f=+ou-g

Nightmare>>

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Justement, j'ai des problèmes avec la "rigueur". Mon prof me dit que ça risque de poser des problèmes pour le bac. Est-ce que tu pourrais tenter de reprendre ma démo avec une rigueur extrême pour voir ce que ça donne? Je t'en serais très reconnaissant.

jord>>

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je voulais dire des anneaux munis de x et pas des EV bien sur

Justin >>

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L'anneau (R^I,+,.) n'est pas intègre dans le cas général donc ça ne marche pas.

Pardon, je m'adressais à Monrow.

Justin >

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l'idée pour être rigoureux est de partir sur un raisonnement par l'absurde et d'utiliser le TVI

Monrow >

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Qu'est-ce que F(I,R) ?

Bonjour

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f et g étant continues sur l'intervalle I, elles sont nécessairement de signe constant, car sinon il existerait un réel où elles s'annuleraient, d'après le TVI, ce qui est exclu.
Ainsi :
-si f>0 et g>0, f²(x)=g²(x) donc f(x)=g(x) pour tout x de I, soit f=g
-si f>0 et g<0, f²(x)=g²(x) donc f(x)=-g(x) pour tout x de I, soit f=-g
-si f<0 et g>0, f²(x)=g²(x) donc f(x)=-g(x) pour tout x de I, soit f=-g
-si f<0 et g<0, f²(x)=g²(x) donc f(x)=g(x) pour tout x de I, soit f=g

On a donc dans tous les cas soit f=g soit f=-g.

bonjour

que se passe-t-il si on n'exclut pas la valeur 0 :  f(x) = g(x) = 0 ?

sur cet exemple où les deux fonctions sont continues mais pouvant s'annuler :



on a bien f² = g² et f = -g

que deviennent vos démonstrations ? sont-elles altérées ?

ici, bien sûr, f = f₁ et g = f₂

Si tu prends, pour reprendre ton exemple, les fonctions arctan(x) et |arctan(x)|, elles ont bien leur carré égal, mais "changent de côté" en 0.

Fractal

ce n'est pas ma question Fractal

la question est que ces deux fonctions sont opposées, sont conformes à f² = g² , et qu'elles s'annulent en au moins un point

alors que Nightmare avait posé, d'emblée, f(x) et g(x) non nulles...

c'est plus clair ?

Oui mais c'est un cas particulier.

En fait si les fonctions s'annulent, a priori les fonctions ne sont pas égales en valeur absolue. (Le contre exemple de Fractal le montre), maintenant il y a des cas particulier comme celui que tu as exhibé.

Je ne comprends pas trop ta question alors...

Tout ce que l'on peut démontrer c'est que si f et g vérifie f² = g² sur un intervalle où elles ne s'annulent pas, alors f = g ou f = -g.
Si tu prends f et g qui s'annulent en 0, il faut alors travailler séparément sur les deux intervalles [0,+oo[ et ]-oo,0]


Fractal

ma question était de voir si on pouvait simplement poser le problème sans devoir écrire f(x) et g(x) non nulles ?

ça rendant la démonstration encore plus générale...

Bonjour mikayaou

Le résultat est faux si les fonctions s'annulent. Ton joli dessin en fournit déjà quatre qui sont continues et qui ont le même carré. Mais si on prend f(x)=x sin(x), il y a une infinité de fonctions g telles que g²=f².