Exo défi > Cantor-Bernstein, homéomorphisme

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Exo défi > Cantor-Bernstein, homéomorphisme
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Nightmare  17-11-08 à 22:08
Bonsoir à tous 

Un exercice sympathique :

Citation :
Trouver deux ensembles A et B, munis de la topologie induite sur R tels que :

1)Il existe une bijection continue de A vers B et une bijection continue de B vers A

2) A et B ne sont pas homéomorphes

On explicitera les deux bijections et la preuve que A et B ne sont pas homéomorphes.

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Camélia re : Exo défi > Cantor-Bernstein, homéomorphisme  18-11-08 à 15:31
Bonjour

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Tu veux vraiment des bijections? Avec des injections c'est facile (et le titre est Cantor-Berstein)
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Nightmarere : Exo défi > Cantor-Bernstein, homéomorphisme  18-11-08 à 17:25
Salut Camélia 

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Oui c'est bien des bijections. Pour Cantor-Bernstein, c'était juste pour voir s'il y avait une correspondance en topologie :

Deux espaces en bijection continue mutuellement sont-ils homéomorphes ?
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tringlaridore : Exo défi > Cantor-Bernstein, homéomorphisme  18-11-08 à 20:15
Salut tout le monde,

Je poste surtout mon message pour être au courant des nouveautés sur ce topic dans "mes messages"... Le problème semble difficile, mais les recherches sont amusantes.

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Je veux juste que tu me dises si tu es d'accord à certaines restrictions qu'il faut imposer à nos ensembles. Tout simplement car bijection+continuité impose des propriétés communes entre les deux ensembles :

A et B doivent être équipotents.

L'image d'un connexe est connexe. Ainsi si f : A -> B est une bijection continue, le nombre de composantes connexes de B est plus petit que le nombre de composantes connexes de A. Ainsi A et B ont même nombre (ou plutôt cardinal) de composantes connexes.

L'image d'un point d'accumulation (par f) est un point d'accumulation. L'image réciproque d'un point isolé est un point isolé => il y a au moins un point d'accumulation dans A et dans B.

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Nightmarere : Exo défi > Cantor-Bernstein, homéomorphisme  18-11-08 à 23:29
Salut 

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 c'est exact pour les deux 
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Camélia re : Exo défi > Cantor-Bernstein, homéomorphisme  20-11-08 à 14:19
Voilà une solution:

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Pour ne pas me tromper dans des calculs sans intérêt, si je mets une flèche entre deux intervalles, il s'agit de la bijection affine qui transforme les extrémités du premier en extrémités du second.

Pour n dans Z, 

C'est déjà clair qu'ils ne sont pas homéomorphes, car [0,1/2[ est une composante connexe de B qui n'est homéomorphe à aucune composante connexe de A. (j'ai le droit de considérer que c'est connu ?)

Voilà la définition de f de A dans B. 

 et  

Pour n < 0,  et pour n > 1, 

Si je ne me suis pas plantée dans les indices, f est continue bijective.

Voilà g de B dans A:

 et 

Pour n < -1,  et pour n > 0, 

Ca devrait coller!

Merci, Jord, je connaissais des exemples de telles bijections dans des espaces plus gros ou dans des EVN fabriqués à partir de produits de normes non équivalentes. Mais dans R, c'est nouveau!

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Nightmarere : Exo défi > Cantor-Bernstein, homéomorphisme  20-11-08 à 15:18
Salut Camélia 

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Ca marche, on a eu la même idée, tu te compliques un peu la vie en considérant les négatifs cela dit 

Pour ma part j'ai pris 

et 

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Camélia re : Exo défi > Cantor-Bernstein, homéomorphisme  20-11-08 à 15:27
>Nightmare

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Je ne suis pas sure de comprendre ce que tu prends
 ne fait pas R privé de 1?
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Camélia re : Exo défi > Cantor-Bernstein, homéomorphisme  20-11-08 à 15:28
Zut, pas blanké! Tu peux le faire?
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Nightmarere : Exo défi > Cantor-Bernstein, homéomorphisme  20-11-08 à 15:30
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désolé, j'ai très mal écrit mon ensemble, en fait, on prend :

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Camélia re : Exo défi > Cantor-Bernstein, homéomorphisme  20-11-08 à 15:32
Du coup tu n'as pas blanké le tien! Oui, ça doit marcher! L'idée est du même genre. 
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1 Schumi 1re : Exo défi > Cantor-Bernstein, homéomorphisme  20-11-08 à 19:07
Pour ceux qui comme moi n'ont toujours pas démarré (je te hais Jord!!! ) on peut avoir un nain dix? (Oui oui, je me retiens, j'ai pas encore regardé les derniers blankés de Camélia  )

  Posté par 
Camélia re : Exo défi > Cantor-Bernstein, homéomorphisme  21-11-08 à 14:09
J'espère ne pas empiéter sur les privilèges de Jord qui est l'auteur, mais je craque! Voici un petit indice:

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C'est nécessaire d'avoir une quantité dénombrable de composantes connexes.