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Je crois que l'idée est de construire une extractrice telle que pour tout


Pour , on écrit avec et on distingue deux cas :

si est rationnel , , alors est une racine -ième de l'unité et l'application convient .

sinon , en utilisant alors la densité dans de l'ensemble (résultat classique) , on a notre extractrice .


en fin je crois que comble nos souhaits _{(sauf erreur bien entendu)}

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Si lorsque , , rien ne prouve a priori  que

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Effectivement blang , je viens de m'en rendre compte

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C'est ce qu'on pourrait appeler de l'imprudence mathématique

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J'étais en train la même démo que toi! Une chance que j'ai lu ton post avant de reposter une ânnerie.

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Je comptais poster la mienne ce soir quand j'aurai un peu de temps. Elle est basée sur un petit lemme élémentaire d'approximation diophantienne, qui se démontre à l'aide du principe des tiroirs.

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Ca a l'air intéressant ! J'attends ta réponse alors

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Lemme :
Soit n^*. Si ₁, ... ,_n sont n réels dont l'un au moins est irrationnel alors pour tout >0, il existe tel que .

Preuve:

Pour x, notons {x}=x-E(x). Soit N un entier tel que .

La suite est à termes distincts dans [0,1[ⁿ.

On a  la partition  :  

donc si M>Nⁿ, on peut utiliser le principe des tiroirs de Dirichlet pour exhiber deux entiers et un n-uplet tels que et soient simultanément dans :

Ainsi pour tout ,    d'où    avec    et  

c.q.f.d.

Revenons-en au problème initial.

1er cas: tous les ,   sont rationnels. Alors si m est le ppcm des dénominateurs des représentants irréductibles de ces rationnels, est une extractice répondant à la question.

2ème cas: au moins un des , est irrationnel.

On pose et on utilise le lemme pour produire une extractice telle que pour tout p^*,  .

Pour , on a alors ce qui résout le problème.

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A première lecture il n'y a pas l'air d'avoir d'erreur. Jolie preuve. Si la mienne t'interresse je la posterai. Elle est à base de matrices (pour changer )

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Bien sûr que ça m'intéresse

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Alors voila :

L'idée est d'utiliser le fait que l'ensemble des matrices diagonales dont les éléments diagonaux sont sur le cercle unité est compact car fermé et borné dans M_n(C).

On considère .

La suite admet une valeur d'adhérence X dans E.

Ainsi il existe une extractrice telle que :

Etant donné que et X sont inversibles :


On pose
Alors pour tout p,
Par conséquent il existe une extractrice telle que et on a
I_n est donc la valeur d'adhérence de la suite . on a donc une extractrice telle que .

On se demande alors où on veut en venir... Et là intervient la continuité de l'application trace :

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C'est trés intéressant

et on a , en effet , l'existence d'une extractrice telle que

Nightmare

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Ben, oui parfait. Tu utilises très bien les propriétés des puissances

Mais en fait, ma preuve de 20:52 permet de généraliser le résultat de la manière suivante :

Soit T un réel >0 et   une fonction continue et T-périodique. Si alors il existe une extractrice telle que :



(En prenant et T=2, on retrouve en particulier le résultat initial)