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On prend deux suites de R² qui tendent vers un certain point qu'on appelera M. On définit la courbe g continue, affine là où je ne la définis pas, telle que
g(1) = x_1, g(1/2) = y_1
g(1/3) = x_2, g(1/4) = y_2
g(1/5) = x_3 ...
Cette courbe peut être prolongée par continuité en 0 par g(0) = M.
Par hypothèse la limite le long de la courbe en 0 est bien définie. Elle est en particulier identique pour les deux suites.

La limite ne dépend pas de la suite = Y'a une limite

Remarque : avec cette technique la courbe n'est pas nécessairement rectifiable, mais on peut se ramener à ce cas en considérant des suites extraites. On peut même supposer les courbes C infini. Par contre...

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C'est à peu près ce que j'avais fait: Je m'étais ramené au cas (0,0) quitte à translater sur g et j'ai fait un raisonnement par contraposée mais fondamentalement j'ai dit la même chose que toi.