Exo défi: Convergence des sommes de Riemann, stûce

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Exo défi: Convergence des sommes de Riemann, stûce
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1 Schumi 1  01-12-08 à 18:53
Bonsoir à tous 

Un exo que j'ai eu en khôlle aujourd'hui même. Il est assez facile (dans le sens où ya pas de stûce) mais vu que j'ai passé le plus clair de la khôlle dans des calculs bien déguelasse j'aimerais savoir si vous aviez une stûce pour ça:

Soit f un élément de C²([0,1],R).

Trouver un équivalent de .

Bonne réflexion... quoique non, yen a pas vraiment. 

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Nightmarere : Exo défi: Convergence des sommes de Riemann, stûce  01-12-08 à 19:08
Salut 

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C'est équivalent à  non (ou un truc comme ça )?
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1 Schumi 1re : Exo défi: Convergence des sommes de Riemann, stûce  01-12-08 à 19:14
Salut 

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Ca dépendrait que du comportement de f en 0? ^^ Bizarre...
M'enfin, c'est presque ça: (f(1)-f(0))/(2n).
Pour la 'tite histoire, je suis parvenu à la fin à ça:  que j'annonce triomphalement au khôlleur lequel me dit qu'il faudrait peut être simplifier...
J'ai passé une bonne demi minute avant de voir ladite simplification. 

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1 Schumi 1re : Exo défi: Convergence des sommes de Riemann, stûce  01-12-08 à 19:15
Problème de balise, j'ai mis la balise de blanké au lieu du LaTex...

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Nightmarere : Exo défi: Convergence des sommes de Riemann, stûce  01-12-08 à 19:19
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Oui je me souviens avoir fait cet exercice en cours ! En fait plus généralement on devait déterminer un développement asymptotique à l'ordre 2 de ce machin là.

Je me rappelle que le premier terme était facile à obtenir (ce f(1)-f(0)/2n) en passant par les Dl mais que le deuxième était assez compliqué !

j'essaye de retrouver la méthode !
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Nightmarere : Exo défi: Convergence des sommes de Riemann, stûce  01-12-08 à 19:30
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Voila ce que j'ai réussi à faire pour la 1ère je trouve pas plus simple !

En note F primitive de f, pour tout k dans [|0,n-1|] il existe  tel que :
 (Taylor-Lagrange)

ie :

On somme pour k allant de 0 à n-1 :

or  et on a ce qu'on veut.

je cherche pour le deuxième terme
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Nightmarere : Exo défi: Convergence des sommes de Riemann, stûce  01-12-08 à 22:57
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Crédidiou je trouve pas le terme en 1/n² !! Ca marche pas avec Taylor-Lagrange 
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1 Schumi 1re : Exo défi: Convergence des sommes de Riemann, stûce  01-12-08 à 23:15
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Merci pour la première partie, ça me semble optimale. J'essaie de voir pour le deuxième termece qu'on peut faire.

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1 Schumi 1re : Exo défi: Convergence des sommes de Riemann, stûce  02-12-08 à 19:48
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En fait, il y a bien une stûce... fallait aller la chercher par contre celle-là!

Etant f de classe C2 sur un segment [a,b], en appliquant Rolle (2 fois) à une fonction bien choisie, on montre qu'il existe c dans [a,b] tel que:

f(y)=f(x)+f'(x)(x-y)+ f''(c)/2(x-y)²/2.

On applique le résultat à une primitive de f et ban, c'est fini.

Je déteste ces exos...

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Nightmarere : Exo défi: Convergence des sommes de Riemann, stûce  02-12-08 à 20:03
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Bien joué 
  Posté par 
1 Schumi 1re : Exo défi: Convergence des sommes de Riemann, stûce  02-12-08 à 20:05
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Elle n'est pas de moi. Je penserais jamais à appliquer Rolle comme ça.