Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat :*: - Forum mathématiques exercices - 143025

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Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat 
Posté par 
lyonnais  03-07-07 à 12:34
Bonjour à tous 

Je vous propose ce petit défi :

Enoncé : 

Citation :
1°) Soit p un entier premier.

On suppose que pour tout (a,b)  , p ne divise ni a ni b

Montrer que :  

2°) Déduire de la propriété précedente le petit théorème de Fermat ...

Niveau : terminale 

Difficulté : j'en sais rien :D

Bonne chance 
 Posté par 
Roulianere : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 13:17
Bonjour,

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Pour le 1°) il suffit de montrer que p premier divise les  pour k compris entre 1 et p-1, mais je me souviens plus comment on fait, un indice ? 
 Posté par 
Roulianere : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 13:28
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J'ai retrouvé la démo, donc oublie mon message précédent 

J'essaye de faire la question 2 
 Posté par 
cailloux re : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 13:31
Bonjour,

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Or, avec , on a:  

et  et  sont premiers avec 

Il en résulte que  divise  et  est un multiple de   pour .

Ainsi,  
 Posté par 
nomisre : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 13:34
 > > Rouliane

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p ne peut pas toujours diviser  exemlpe: avec p=10 et k=2 =45 et 10 ne divise pas 45
 Posté par 
Roulianere : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 13:35
nomis >> 
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10 n'est pas premier !

 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 13:37
nomis >> 

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il faut que p soit premier (cf l'énoncé)

Je regarde les réponses de tous le monde, et je réponds 
 Posté par 
Roulianere : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 13:39
nomis >>

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je mets la démo pour finir de te convaincre 

Montrons que si p est premier, p divise  pour k compris entre 1 et p-1.

On a  , avec 

On a donc  or p est premier avec k donc 
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 13:39
cailloux >>

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Je n'ai pas exactement la même conclusion que toi, ni le même développement, mais ça me semble correct 

Rouliane et Cailloux >>

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Alors pour la 2°) ? :D

 Posté par 
nomisre : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 13:40
oups 
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 13:40
Rouliane post de 13:39 :

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Exactement 
 Posté par 
cunctatorre : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 13:49
Bonjour

Ne pourrait on pas utiliser la formule du binôme et ensuite b=1
 Posté par 
Roulianere : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 14:03
Lyonnais >>

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la seule chose que j'arrive à écrire c'est, d"après le 1°) que 

En utilisant la formule (....) on a a(....).

Il faudrait que je montre que (....)=1[p] mais j'ai l'impression que je tourne en rond.
 Posté par 
cailloux re : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 14:33
Re,

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On cherche à démontrer que 

Il suffit de faire une récurrence sur  en utilisant la propriété précédente 

Par contre, dans cette version du petit théorème de Fermat, je ne vois pas où intervient le fait que  ne divise pas .
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 15:21
Désolé pour le retard 

Rouliane >>

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Ce n'est pas comme cela qu'il faut partir. Essaie de voir une propriété de récurence.

Cailloux >>

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C'est l'idée. Et oui c'est bien ce résultat que l'on veut montrer. 

Cette version du petit théorème de Fermat marche bien en effet même si p ne divise pas a.

Cependant il faut quand même que p soit premier ... 
 Posté par 
monrow re : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 15:37
Bonjour lyonnais

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1) Donc je vais commencer par montrer que: pour tout 

On a: 

Donc: 

Puisque: p|p! donc: (GAUSS) d'où: 

Pour tout  

Donc: 

D'où: 

2) On prend b=1 On a: 

Pour n=0: C'est vérifié

On suppose que:  et on montre 

On a d'après la question précédente:  et: 

Donc: 

Donc: 
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 15:52
monrow >>

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Pas mal du tout 
 Posté par 
Roulianere : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 16:14
Lyonnais >>

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Citation :

Ce n'est pas comme cela qu'il faut partir. Essaie de voir une propriété de récurence.

Ok, merci.

Effectivement, avec une récurrence sur a, on utilise le a) pour l'hérédité et c'est réglé .

Merci pour l'exo 
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 16:53
Rouliane >>

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Je t'en prie  Merci à toi d'y avoir participé ... 
 Posté par 
cailloux re : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 16:59
>> Lyonnais

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Sympa ton exo, merci! 
 Posté par 
simon92re : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 19:13
j'ai une démonstration courte élégeante mais j'ai pas le temps de la noter... 

 Posté par 
simon92re : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 19:13
pardon, courte et élégeante
 Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 19:16
Salut simon92 

Si jamais tu as le temps et l'envie, fait l'a nous partager 
 Posté par 
simon92re : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 19:20
en fait, je disait ca juste par rapport au grand théorème de Fermat, mais je pense que tu l'a deviné... 
  Posté par 
lyonnaisre : Exo défi : démo originale du petit théo de Fermat   03-07-07 à 19:41
Oui oui, j'avais bien compris