Exo défi: Dimension d'un Banach.

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Exo défi: Dimension d'un Banach.
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1 Schumi 1  17-11-08 à 13:04
Bonjour à tous 



Un résultat que vous connaissez peut être. Adapté d'un exo de TD, je vous le propose. Assez marrant je trouve...  



Soit (E,||.||) un espace de Banach.

Montrez qu'on a les alternatives suivantes: Ou bien E est de dimension finie en tant que k-ev ou bien E est de dimension indénombrable en tant que k-ev.



Bonne réflexion.





Ayoub.



PS: Le corps de base est R ou C. Enfin, du moment que le corps est complet ça devrait pas posé de problème mais j'ai pas vraiment envie de vérifier. Si vous voulez vous en donner la peine... 
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Nightmarere : Exo défi: Dimension d'un Banach.  17-11-08 à 18:13
Salut 

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Je commencerai comme ça  : 
Si E admet une base dénombrable , E est réunion dénombrable des .
J'aurai envie d'appliquer Baire pour aboutir à une contradiction, j'arrive à montrer que l'espace engendré est d'intérieur vide mais pas à montrer qu'il est fermé 

Je réfléchis
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1 Schumi 1re : Exo défi: Dimension d'un Banach.  17-11-08 à 18:17
Salut 

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E n'est pas réunion dénombrable des Vect(fn). Erreur de frappe je suppose...
Mais sinon oui, c'est fini là, il n'y a plus qu'à conclure quasiment. 



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1 Schumi 1re : Exo défi: Dimension d'un Banach.  17-11-08 à 18:17
Oups... 
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Nightmarere : Exo défi: Dimension d'un Banach.  17-11-08 à 18:19
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Pas compris 



Si justement, E est réunion dénombrable des vect(fn) !
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tringlaridore : Exo défi: Dimension d'un Banach.  17-11-08 à 18:25
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E est réunion dénombrable des Vect(f1, f2, ..., fn).

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Nightmarere : Exo défi: Dimension d'un Banach.  17-11-08 à 18:25
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Je suis bête, Vect(fn) est de dimension finie donc fermé puisqu'on est dans un Banach.
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Nightmarere : Exo défi: Dimension d'un Banach.  17-11-08 à 18:26
Tringlarido > 
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Oui c'est ce que je voulais dire, j'ai oublié d'indexer ma famille
 Posté par 
elvisexercice   17-11-08 à 18:26
je suis en classe de seconde c je voudrais avoir des correspondants pour m'aider à faire mes excercices merci
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1 Schumi 1re : Exo défi: Dimension d'un Banach.  17-11-08 à 18:29
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R² n'est pas réunion dénombrable de droites passant par l'origine...



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1 Schumi 1re : Exo défi: Dimension d'un Banach.  17-11-08 à 18:30
Jord >> 



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Oui c'est bien "l'erreur de frappe" à laquelle je pensais. Donc oui, c'est fini. Bien joué. 


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Nightmarere : Exo défi: Dimension d'un Banach.  17-11-08 à 18:31
Ayoub > 
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Oui oui, j'avais juste oublier d'indexer ma famille. D'ailleurs ton contrexemple est marrant, c'était mon premier exercice de khôlle en sup : Montrer que le plan n'est pas réunion dénombrable d'une infinité de droite


 Posté par 
1 Schumi 1re : Exo défi: Dimension d'un Banach.  17-11-08 à 18:32
C'est pour cela que je l'ai mis précisemment. 
 Posté par 
Nightmarere : Exo défi: Dimension d'un Banach.  17-11-08 à 18:35
Bonne mémoire alors 



Merci pour l'exercice en tout cas, très intéressant. Ca nous permet de montrer que pas mal d'espaces ne sont de Banach pour aucune norme.
  Posté par 
1 Schumi 1re : Exo défi: Dimension d'un Banach.  17-11-08 à 18:38
Oui en effet. On l'a vu dans le cas de R[X] (le prof annonçant triomphalement que "vous prenez n'importe quel norme, ça sera jamais un Banach"; faut dire que sans Baire on voyait pas vraiment pourquoi ) et on voit de suite que le seul truc dont on se sert c'était la dimension dénombrable.