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Exo défi: Discriminant d'un polynôme de Z[X]
Bonjour à tous 
Un 'ti exercice plutôt sympathique que je viens de finir (enfin, je crois... 
):
Soit P un polynôme à coefficients entier.
Montrez que disc(P) est un entier.
Je rappelle quand même la définition du discriminant:
Etant donné K un corps sur lequel on se donne . Le discriminant de P vaut
où les xi sont les racines (dans une clôture algébrique de K) de P.
Bonne réflexion.
Salut tout le monde
jandri >> T'es sûr? J'avais un doute sur ma définition mais pas à ce niveau-là. Parce que par exemple dans le cas n=2 ça signifierai que le discriminant d'un polynôme de degré 2 est positif... Plus généralement quand on détermine le groupe de Galois d'un polynôme c'est courant de regarder si le discriminant est un carré pour savoir s'il est dans An ou pas.
Jord >>
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1 Schumi 1
pour P=ax2+bx+c de racines (-b
)/(2a) on obtient avec ta définition:
disc(P)=a(x1-x2)=
qui n'est pas un entier en général.
En revanche, son carré, , est bien un entier.
La formule exacte pour le discriminant est:
jandri >> Ok, merci pour la correction. Si Jord veut bien corriger dans le message initial ça serait sympa, comme ça il y aura une bonne définition.
jandri seulement >>
Cliquez pour affichergui_tou >>
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Désolé pour ces inattentions récurrentes.
Le discriminant générique est bien symétrique car invariant par toute transposition. L'important est de savoir que tout polynôme symétrique à coeff dans un anneau A est polynôme en les fonctions symétriques élémentaires ...toujours à coefficients dans l'anneau A .
Maintenant si P est unitaire le résultat est immédiat . Sinon on peut s'y ramener (enfin j'ai pas fait la fin mais ça a l'air clair)
Nightmare>>
la formule que j'ai donnée le 20/11 à 16h33 comportait encore une erreur.
la bonne formule est celle que j'ai donnée le 20/11 à 22h25:
(c'est le résultant de P et P').
le signe n'a pas d'importance mais dans le cas an 
1 il faut une puissance de an au moins égale à 2n-2 pour que l'on obtienne un entier.
L'énoncé peut être formulé ainsi:
Si dans
[X] et dans
[X] alors est un entier.
lolo217, c'est bien ça que j'ai essayé de montrer. J'ai réussi d'ailleurs, je posterai ma solution ce soir s'il n'y en a pas d'autres en attendant.
AU fait quelqu'un a une preuve du fait que le discriminant est IRREDUCTIBLE en n variables ?
Merci d'avance (je sais pas si c'est facile je n'y ai pas réfléchi)
Salut
Le discrimininant? Ben il a pas vraiment l'air irréductible vu sa définition... Ou alors on ne sait pas compris.
(Déterminant peut être? Lui est bien irréductible en n² indéteminées...)
Bonjour,
Je me suis mal exprimé effectivement : le discriminant est un polynôme en factorisé en les xi mais c'est aussi un polynôme en les
a0,..., an et en ces variables là il est irréductible.
PAr exemple b2-4ac est clairement irréductible.
J'ai pas bien avancé...
Mon idée c'était de se ramener à l'irréductibilité d'un certain résolvant via la formule Res(P,P')=(-1)^(n(n-1)/2)a_ndisc(P) (Oups, je viens de donner ma soluce de l'exo, tant pis ) puis de m'inspirer de la démo que le déterminant est irréductible en n² indéterminée. Evidemment, ça ne marche pas.
J'y réfléchis encore...
Ca devient assez vite inextricable. Rien qu'avec n=3 on a pour un polynôme unitaire P=X^3+aX²+bX+c on a d'après Wiki: disc(P)=a²b²+18abc-4b^3-4a^3c-27c².
C'est plus super évident qu'il soit irréductible déjà...
T'es sûr qu'il l'est systématiquement? Pas une idée non plus?
ben j'avais penser passer par le résultant comme toi mais bof !
je sais aussi que res(P,Q) est irréductible comme polynôme en les coeff de P et Q mais j'ignore aussi la preuve.
Sinon pour celui avec n=3 il est de degré 2 par rapport à c donc ça doit se faire
Pour le discriminant j'ai pas fini (flemme) mais il me semble que la preuve que j'ai pour le résultant s'adapte . Enfin si tu continues un peu je finirais ....
Juste pour vérifier qu'on pense bien à la même chose:
Je note R (très très original n'est ce pas?) le résultant vu comme un polynôme en les a_i et b_j.
On utilise les relations coefficients-racines pour dire que c'est aussi un polynôme en les x_i et y_j.
En fait mieux que ça, c'est un polynôme en les polynômes symétriques élémentaires des x_i ainsi que ceux en y_j.
Après, on utilise THE formule qui donne le résultant en fonction des racines (tu sais, le vilain produit là dex (x_i-y_j)...).
On prend alors un diviseur D de R. Tous les x_i et y_j sont de même degré, fatalement. En utilisant l'égalité avec l'autre polynôme qu'il faut qu'il ait au moins l'un des x_i et l'un des y_j et donc en fait, il les a tous: D=R.
En gros, c'était ça ton idée?
oui en gros c'est ça . Manque un chouya à la fin : montrer qu'on ne peut factoriser par le terme dominant qui n'est pas parmi les variables symétriques.
Pour le discriminant on commence pareil le seul cas pénible c'est celui où on aurait en facteur la racine carrée du produit des xi-xj ...mais c'est pas possible car ça conduirait à un facteur non symétrique.
montrer qu'on ne peut factoriser par le terme dominant qui n'est pas parmi les variables symétriques >> Oui, j'allais dire au début "on perd rien à les prendre unitaire" m'enfin, ça change rien, il est simplifié par les polynômes symétriques; ce que j'ai écrit est loin d'être une rédaction ceci dit... ^^
Je me suis aussi convaincu du résultat pour le discriminant.
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