Salut

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On étudie les modules en spé? J'aurais dû y aller

Intéressant en tout cas, mais j'arrive pas à démarrer J'ai envie de trouver l'inverse de u. J'y arrive pour des polynômes mais pas sur A quelconque

Salut

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Non, malheureusement pas. L'algèbre de spé se limite à des totales trivialités (tout comme en topo, en réduction...). C'est dans le cours d'algèbre que je suis en train de (re)lire, celui de Chambert-Loir (pas très pédagogue ce type ^^).
Exhiber explicitement un inverse de u va être en effet très compliquer sans hypothèses supplémentaires sur M et/ou A; mais on va le trouver comme un certain polynôme en u.
As-tu déjà entendu parler de Nakayama? C'est une application de ce lemme. Si on le connaît pas, on ne risque pas de l'inventer mais ça se démontre bien (j'ai réussi, c'est dire... ). La démo se fait par récurrence (ou par Cayley Hamilton, ça dépend des préférences) mais dans les deux cas, c'est bourrin.

Lemme de Nakayama:
Si M est un A-module de type fini et I un idéal de A tel que M=I*M alors il existe a dans I tel que (1+a)M=0.

Bonjour

Pour avoir ce résultat, il est impératif que A soit commutatif. (C'était probablement sous-entendu).

Alors j'ai concocté un contrexemple! Encore des morphismes surjectifs!

Oui on travaille sur des anneaux commutatifs unitaires.

Une solution (elle n'est pas de moi):

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On munit M d'une structure de A[X]-module en posant pour tout P dans A[X] et m dans M P.m=P(u)(m).
En tant que A[X] module, M est évidemment de type fini et comme u est surjectif on a M=u(M)=(X).M
Donc d'après le lemme de Nakayama, il existe P=X.Q tel que (1+P).M=0
Mais alors pour tout m dans M, on a m+uoQ(u(m))=0.
Chouette, on a trouvé un inverse à droite, et c'est évidemment un inverse à gauche (vu qu'ils commutent).

Si je puis me permettre.
Le lemme de nakayama c'est pas tout a fait ça (cela dit c'en est l'argument essentiel) ce que ayoub a ecrit c'est ce que j'ai toujours entendu sous le nom de "ruse du determinant" ou "detrminant's trick".
Le lemme de nakayama dit que pour M un module de type fini sur un anneau local, s'il existe I un idéal de A verifiant IM=M alors N=0.

Maintenant un petit exo bonus (un poil plus delicat) Soit u un endommorphisme injectif de Z module de type fini, M alors (M:u(M))=det u

Le lemme de nakayama dit que pour M un module de type fini sur un anneau local, s'il existe I un idéal de A verifiant IM=M alors N=0. >> Chambert-Loir le présent comme une conséquence. Il nomme lemme de Nakayama le résultat que j'ai cité plus haut. Je vais vérifier chez d'autres auteurs pour adopter la définition la plus répandue.

Je suis d'accord avec Rodrigo; moi aussi j'ai youjours appellé "lemme de Nakayama" Le truc avec IM=M.