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On commence par remarquer que f(0)=0 (il suffit de remplacer x par 0 dans l'égalité) et que f'(0)=0 (il suffit de dériver puis d'évaluer en x=0).
Ensuite, l'idée est, pour x donné, de "relier f(x) aux valeurs du type f(u) avec u petit" et ce grâce à la relation vérifiée par f.
Je m'explique :

Pour tout x, on a :


.


Ainsi, en remplaçant x par x/3, on a :



Ainsi, en réutilisant cette égalité avec x/3 et 2x/3, on a :




et ainsi de suite.

On remarque alors la présence de ce qui semble être des coefficients binomiaux ( voir 1,2,1 puis 1,3,3,1, ça a fait tilt ! ) et ainsi, on est amené à conjecturer l'égalité suivante :

Pour tout réel x et tout entier naturel n, on a :




Cette dernière se montre facilement à l'aide d'une récurrence sur n (si ce n'est pas clair, je donnerai les détails).

A présent, on se fixe un réel x quelconque et .


Au début, nous avions dit que f(0)=0, que f est dérivable en 0 et que f'(0)=0, donc tend vers 0 lorsque u tend vers 0.



Ainsi, il existe tel que tout u vérifiant vérifie également

On a donc tend vers 0.
En particulier, il existe un entier tel pour tout , .

Soit donc n un tel entier, alors pour tout entier k compris entre 0 et n, on a :



donc

d'où par inégalité triangulaire :



Or le binôme de Newton nous donne :



d'où :

et ce pour tout donc f(x)=0

x étant choisi quelconque, f est alors la fonction nulle.

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C'est aussi ma démo Non je blague

Très très jolie démo !!

Création maison de mon prof

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Alors toi :D

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Merci à vous deux !

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On remarque tout d'abord que , cela nous servira dans la suite.

Soit .
Montrons par récurrence sur la propriété suivante :

* Pour n = 1, on pose et , qui conviennent en vertu de et car

* Soit vérifiant la propriété en question.
Pour tout , on pose et .
Les étant inférieurs à , les sont inférieurs à , et la somme des est égale à la somme des donc à 1.
On a de plus .
On a ainsi d'où le résultat.


Puisque il existe une fonction g qui tend vers 0 en 0 telle que pour tout h, .
Soit et tel que pour tout , (existe car g tend vers 0 en 0).
On a alors


Donc et ainsi f est la fonction nulle.

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Si pour on note on vérifie facilement que

et une récurrence donne pour tout ,

d'où en particulier

Donnons nous alors un et exploitons le fait que ce qui s'écrit

en choisissant un assez grand pour que il vient _{sauf erreur bien entendu}

remarque : On pourrait sauf erreur se restreindre à l'hypothèse " dérivable en "