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Exo défi: équation fonctionnelle de Zeta.

Posté par
1 Schumi 1 22-12-08 à 02:25

Bonsoir à tous

Voici mon cadeau de fin d'année, j'espère que vous allez aimer...

Soit f une fonction $C^{\infty}$ à décroissance rapide: $\rm\forall (n,m)\in\mathbb{N}^2\exist C\in\mathbb{R} |x^nf^{(m)}(x)|<C$ .
On note $\rm\mathfrak{F}$ sa transformée de Fourier: $\rm\mathfrak{F}(s)=\Bigint_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-ist}dt$ .

1) Montrez la formule sommatoire de Poisson: $\rm\Bigsum_{n\in\mathbb{Z}}f(2\pi n)=\Bigsum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{2\pi}\mathfrak{F}(n)$ .

2) Soit $\rm\theta(t)=\Bigsum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi tn^2}$ . Montrez que $\rm\theta(\frac{1}{x})=\sqrt{x}\theta(x)$ .

3) On note $\rm\Lambda(s)=\frac{1}{2}\Bigint_{0}^{+\infty}(\theta(t)-1)t^{s/2-1}dt$ .
a) Vérifiez que $\rm\Lambda$ est définie pour Re(s)>1 et qu'alors $\rm\Lambda(s)=\zeta(s)\Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-s/2}$ .

b) Montrez que $\rm\Lambda(s)=\frac{-1}{s}+\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}\Bigint_{0}^{+\infty}(\theta(t)-1)(t^{s/2}+t^{(1-s)/2})\frac{dt}{t}$ .

c) Montrez que le menbre de droite est définie sur $\rm\mathbb{C}-\{0,1\}$ , qu'il est analytique et que notant $\rm\Lambda$ ce prolongement, on a l'équation fonctionnelle de Zeta: $\rm\fbox{\Lambda(s)=\Lambda(1-s)}$ .

Have fun!

_{PS: Si ça vous suffit pas, il y a toujours les questions subsidiaires données hors-khôlles mais je préfère y réfléchir avant de vous les soumettre.}

Posté par re : Exo défi: équation fonctionnelle de Zeta. 23-12-08 à 17:46

Bonsoir,

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Posté par re : Exo défi: équation fonctionnelle de Zeta. 23-12-08 à 17:53

Salut

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Posté par re : Exo défi: équation fonctionnelle de Zeta. 28-12-08 à 18:32

Personne?

Posté par re : Exo défi: équation fonctionnelle de Zeta. 29-12-08 à 14:26

Salut Ayoub: mon rêve est de découvrir la question 3/b (j'espère qu'elle est au moins difficile)

Posté par re : Exo défi: équation fonctionnelle de Zeta. 29-12-08 à 14:51

Salut Ayoub

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Posté par re : Exo défi: équation fonctionnelle de Zeta. 29-12-08 à 15:12

Les questions subisidiaires alors:

4) Montrez que le prolongement de $\rm\Lambda$ est unique. (Ce qui, pour quelqu'un ne connaissant pas le prolongement analytique n'est pas trivial du tout ).

5) Un autre exemple de fonction L: Soit S(n) le nombre de solutions dans Z² de l'équation a²+b²=n et soit $\rm L(s)=\frac{1}{4}\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{S(n)}{n^s}$ . Il s'avère que L est la fonction Zeta de Dedekind associé au corps Q(i). (Ne me demande pas ce que ça veut dire, j'en sais rien ).
Trouver un prolongement analytique pour L ainsi qu'une équation fonctionnelle.

J'ai pas encore eu le temps de me pencher sur ces questions: je ne pourrai donc pas vraiment donner de nain dix autre que celui qui m'a été donné et que je n'ai pas (encore) mis.