K=k  convient

Ben non... j'ai jamais dit que L/k était séparable.

....en caractéristique nulle

Le résultat est en effet sans interêt sur les corps de caractéristiques nulles (d'ailleurs sur tous les corps usuels, vu qu'ils sont tous parfaits: je connais peu de gens qui font de la théorie de Galois sur F_p(X)...^^)

Ok donc K = k  si  L/k  est séparable .
Sinon il existe un élément a₁ inséparable sur  k , si  L/k(a1)  est séparable c'est fini, sinon le procédé s'achève pour des raisons de finitude . K = le dernier corps ainsi construit dans L .

Je connais des gens qui font de la théorie de Galois sur Fp(X) !! (enfin j'en ai déjà utilisé) .

exemple : Carlitz , Goss, Hayes, Drinfeld (médaillé) ....

Non, il y a encore un problème (la même gaffe que moi ): k(a1)-k ne possède pas forcément que des éléments inséparables...

Contre exemple (de Simon):
"par exemple dans K=Z/2Z(t) on commence par chercher un polynome iréductible, pour cela on en prend un iréductible sur Z/2Z typiquement, t^2+t+1.

malheuresement les racines de ce polynome sont bien des puissance p-iemme, mais si on apelle a une racine, alors a.x n'est pas une puissance p-iemme, donc on regarde plutot le polynome t^2+t.x+x^2

finalement, l'extension de K :
K[X]/(t^4+t^2.x+x^2) est le contre exemple que tu cherchais."

Y a un truc que je pige pas (ceci dis l'exercice m'a l'air plus intéressant que je pensais   )

Si  u  est une racine de  T⁴+T²X + X² alors  ton extension c'est  K(u)/K  de degré 2 et séparable .

Tu as voulu écrire  :  K[X]/(X⁴+X²T + T²)
là le polynôme minimal est de degré 4 et inséparable.
(y a un petit mélange de X et  x  dans ton message ).
et si  b  est une racine alors  b²  est séprable.

Enfin cet exercice construit un analogue de la clôture séparable qu'on a envie d'appeler la clôture inséparable dans L .
Bon je regarderais demain....

tiens je viens de m'apercevoir que tu ne demandais pas que K  soit une extension de k ...ça pourrait servir ?

Ben si quand même, K est supposé une extension de k.

l'extension qu'il faut prendre à la fin c'est K[X]/(X^4+X^2.t+t^2)

ou K=(Z/2Z)(t)

oui on est d'accord sur l'exemple .

Bon après j'ai bien envie de faire  l'intersection de L avec  k^1/p
mais le coup d'après ne me semble plus marcher .

Un nain dix:

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Utilise le lemme d'Artin, celui qui dit qu'étant donné un corps L et un groupe fini d'automorphismes de ce dernier, l'ensemble des éléments dont l'orbite par l'action de G est triviale est un corps pour lequel L est une extension galoisienne.

Ah oui, je savais pas que ça s'appelait lemme d'Artin (enfin j'ai oublié la théorie de Galois jusqu'au second semestre).

Alors si K  est le corps fixé par les automorphismes L/ est Galoisienne. Maintenant K/k  ne peut pas avoir 2 automorpshismes sinon ils se prolongerait à L en trop d'automorpshismes donc il n'y a que l'identité d'où K/k est purement inséparable. Joli exo